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\documentstyle{amsppt}
\def\a{\alpha}
\def\be{\beta}
\def\ga{\gamma}
\def\e{\varepsilon}
\def\Q{\bold Q}
\def\R{\bold R}

\nopagenumbers

\centerline{1998年度理科II, III類1年生 数学IA演習・小テスト(6)}
\rightline{1998年5月26日・河東泰之}
\rightline{数理科学研究科棟310号室 (電話 5465-7024)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{homepage http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}
\bigskip

答案の一番上に氏名と学生証番号を書いてください.
(組は書かなくてもけっこうです.)自分のノートを
参照してもけっこうです.

\bigskip [1] $f(x)$を$n$次の多項式とする.$f(x)$を$x=a$において
Taylor展開した式を求めよ.

\bigskip [2] [ロピタルの定理] 
(1) $f(x), g(x)$を,区間$(-1,1)$で定義された
連続関数で,$f(0)=g(0)=0$であるとする.
$0 < |x| < 1$で$f(x), g(x)$は微分可能で,
$x\neq 0$のとき,$g'(x)\neq 0$とする.
もし,$\dsize\lim_{x \to 0} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$が存在すれば,
$\dsize\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{g(x)}$も存在して同じ値に
なることを示せ.

(2) $f(x), g(x)$を,$x > 0$の範囲で定義された
連続関数で,$\dsize\lim_{x\to\infty} f(x)=
\dsize\lim_{x\to\infty}g(x)=0$であるとする.
$x > 0$で$f(x), g(x)$は微分可能で$g'(x)\neq 0$とする.
もし,$\dsize\lim_{x \to \infty} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$が存在すれば,
$\dsize\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)}$も存在して同じ値に
なることを示せ.

ただし,関数$f(x)$に対し,$\dsize\lim_{x\to\infty} f(x)=\a$
とは,
$$\forall \e > 0 \;\exists N > 0, \;\; x > N \Rightarrow
|f(x)-\a| < \e$$
ということである.

\bigskip [3] 
$f(x)=(1+x)^{1/4}$は,$x=0$のまわりでTaylor展開できて,
その無限級数が$-1/2 < x <1/2$の範囲で$f(x)$に収束することを示せ.

\bye