\magnification=\magstep1
\documentstyle{amsppt}
\def\a{\alpha}
\def\be{\beta}
\def\ga{\gamma}
\def\e{\varepsilon}
\def\Q{\bold Q}
\def\R{\bold R}

\nopagenumbers

\centerline{1998年度理科II, III類1年生 数学IA演習・小テスト(6)}
\rightline{1998年5月26日・河東泰之}
\rightline{数理科学研究科棟310号室 (電話 5465-7024)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{homepage http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}
\bigskip

答案の一番上に氏名と学生証番号を書いてください．
(組は書かなくてもけっこうです．)自分のノートを
参照してもけっこうです．

\bigskip [1] $f(x)$を$n$次の多項式とする．$f(x)$を$x=a$において
Taylor展開した式を求めよ．

\bigskip [2] [ロピタルの定理] 
(1) $f(x), g(x)$を，区間$(-1,1)$で定義された
連続関数で，$f(0)=g(0)=0$であるとする．
$0 < |x| < 1$で$f(x), g(x)$は微分可能で，
$x\neq 0$のとき，$g'(x)\neq 0$とする．
もし，$\dsize\lim_{x \to 0} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$が存在すれば，
$\dsize\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{g(x)}$も存在して同じ値に
なることを示せ．

(2) $f(x), g(x)$を，$x > 0$の範囲で定義された
連続関数で，$\dsize\lim_{x\to\infty} f(x)=
\dsize\lim_{x\to\infty}g(x)=0$であるとする．
$x > 0$で$f(x), g(x)$は微分可能で$g'(x)\neq 0$とする．
もし，$\dsize\lim_{x \to \infty} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$が存在すれば，
$\dsize\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)}$も存在して同じ値に
なることを示せ．

ただし，関数$f(x)$に対し，$\dsize\lim_{x\to\infty} f(x)=\a$
とは，
$$\forall \e > 0 \;\exists N > 0, \;\; x > N \Rightarrow
|f(x)-\a| < \e$$
ということである．

\bigskip [3] 
$f(x)=(1+x)^{1/4}$は，$x=0$のまわりでTaylor展開できて，
その無限級数が$-1/2 < x <1/2$の範囲で$f(x)$に収束することを示せ．

\bye