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\documentstyle{amsppt}
\def\a{\alpha}
\def\be{\beta}
\def\ga{\gamma}
\def\Q{\bold Q}
\def\R{\bold R}

\nopagenumbers

\centerline{1998年度理科II, III類1年生 数学IA演習・小テスト(5)}
\rightline{1998年5月19日・河東泰之}
\rightline{数理科学研究科棟310号室 (電話 5465-7024)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{homepage http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}
\bigskip

答案の一番上に氏名と学生証番号を書いてください．
(組は書かなくてもけっこうです．)自分のノートを
参照してもけっこうです．

\bigskip [1] $f(x)$を$\R$上の関数とする．
任意の$a\in\R$に対し，次の2条件が互いに必要十分である
ことを示せ．(これは，5月15日の講義で「明らか」と言ったこと
です．わざわざ聞いているんですから，定義に基づいてきちんと
証明してください．)

(1) $\dsize\lim_{x\to a+}f(x)=\dsize\lim_{x\to a-}f(x)=\a$.

(2) $\dsize\lim_{x\to a}f(x)=\a$.

\bigskip [2] $\{a_n\}_n$を有界数列として，
$\{a_n\}_n$の部分列で収束するもの全体を考え，それらの
収束先すべての集合を$A$とする．

(1) $A$は最大値を持つことを示せ．

(2) その最大値は$\dsize\limsup_{n\to\infty} a_n$に等しい
ことを示せ．

\bigskip
[3] $f(x),g(x)$を$\R$上の連続関数とする．各点$x\in\R$で，
$h(x)=\max(f(x),g(x))$と定める．この$h(x)$も$\R$上の
連続関数であることを証明せよ．

\bye