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\centerline{数学I A中間テスト（5月18日）}
\rightline{河東泰之}
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[1] 以下の条件を満たす有理数列を（おのおの一つずつ）あげよ．

(1) 0に収束する部分列を持ち，また収束するようなすべての部分列の極限は
0であるが，その数列自体はCauchy列ではない．

(2) 有界な数列で，その上限に収束する部分列はあるが，下限に収束する
部分列はない．

(3) どのような部分列をとっても収束しない．

(4) 上にも下にも有界ではないが，収束する部分列を持つ．

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[2] 
$$\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2-5n+4}{n^2+1}=3$$
であることを，数列の極限の定義にそって，直接証明せよ．

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[3] 次の性質を満たす実数列$\{\alpha_n\}_n$を一つあげよ．

「$0\le\alpha\le1$を満たす任意の実数$\alpha$に対して，
$\alpha$に収束するような，$\{\alpha_n\}_n$の部分列$\{\alpha_{n_k}\}_k$
が取れる．」

（作った$\{\alpha_n\}_n$が，本当に上の条件を満たしていることを
きちんと説明すること．）

\bye