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\def\R{{\bold R}}
\def\e{{\varepsilon}}


\centerline{数学I A (理科I類17,18,27,28組)期末テスト}
\rightline{1995年2月16日　河東泰之}
\bigskip

この試験は自筆ノート持ち込み可で行います．
（教科書などは，不可です．）時間は90分です．

\bigskip [1] (1)
関数 $\dfrac{1}{(1-x^2)^3}$を$x=0$のまわりで
Taylor展開したべき級数$\dsize\sum_{n=0}^\infty
a_n x^n$を求めよ．

(2) 上のべき級数が，もとの関数$\dfrac{1}{(1-x^2)^3}$
に等しくなるような$x$の範囲を求めよ．

（以上いずれも，きちんと計算の根拠を述べること．根拠が
不十分，不適当な場合は答だけあっていてもかなり減点
する．）

\bigskip [2]
関数列$\{f_n(x)\}_n$は，区間$[0,\infty)$上の
実数値連続関数の列で，次の2条件を満たすとする．

(1) $\{f_n(x)\}_n$は，区間$[0,\infty)$上で定数関数
0に一様収束している．

(2) すべての$n$に対し，$[0,\infty)$上で不等式
$|f_n(x)|\le\dfrac{1}{x^2+1}$が成り立つ．

この時，広義積分$\dsize\int_0^\infty f_n(x)\;dx$は
収束し，$n\to\infty$の時に
$\dsize\int_0^\infty f_n(x)\;dx\to0$となることを
証明せよ．


\bigskip [3]
次の積分（平面全体上の重積分）の値を求めよ．
$$\int\int_{\R^2}
(x^2+y^2)e^{-(x^2+y^2)^2}\;dx\;dy.$$


\bigskip [4]
次の積分の値を求めよ．
$$\int_0^1\int_{2-2\sqrt{1-x}}^{2+2\sqrt{1-x}}
xy^4\;dy\;dx.$$

\bye