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\documentstyle{amsppt}

\baselineskip 14pt
\nopagenumbers
\def\R{{\bold R}}
\def\e{{\varepsilon}}


\centerline{数学I A (理科I類17,18,27,28組)中間テスト}
\rightline{1995年1月11日　河東泰之}
\bigskip

この試験は自筆ノート持ち込み可で行います．
（教科書などは，不可です．）時間は60分です．

\bigskip [1] (1) 任意の正の実数$c$に対し，
$c$における$\log x$のTaylor展開（無限級数）
$\dsize\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n$を求めよ．

(2) 上の(1)の無限級数$\dsize\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n$
の収束半径はいくつか？

(3) 等式$\log x=\dsize\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n$が
成り立つような最大の開区間を求めよ．（答だけでなく，根拠を
きちんと述べること．）

\bigskip [2]
次の不定積分を求めよ．
$$\int\frac{1}{(x^2+1)^3}\;dx.$$


\bigskip [3]
$-1<x<1$の時，
$$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+x^8-\cdots$$
であることに注意して，
$-1<x<1$の時，
$$\arctan x=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}
{2n+1}$$
を示せ．

\bye