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\def\R{{\bold R}}
\def\e{{\varepsilon}}


\centerline{数学I A (理科I類17,18,27,28組)中間テスト解説}
\rightline{1994年11月21日　河東泰之}
\bigskip

配点は，1番から順に40点，30点，30点です．
平均点は，69.7点，得点分布は次のとおりでした．
1番，2番はよくできていましたが，3番はできていませんでした．

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--19 (点) && 20--39  && 40--59 && 60--79 && 80--99 && 100 & \cr
\vsp\t
& 1(人) &&  5 &&  1 && 11 && 7 && 6 & \cr
\vsp\t
}}$$

\bigskip
[1] $t=e^x$と置換すれば，
$$\align
\int\frac{e^{2x}}{e^x+e^{-x}}\;dx&=
\int \frac{t}{t+1/t}\;dt\\
&=\int 1-\frac{1}{t^2+1}\;dt\\
&=e^x-\arctan e^x+C,
\endalign$$
($C$は積分定数）となります．

\bigskip
[2]
$x=\sin^2 t$, $(0\le t\le pi/2)$, と置換すれば，
$$\align
\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}\;dx&=
\lim_{\e\downarrow 0, \e'\downarrow 0}
\int_{\e}^{1-\e'}\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}\;dx\\
&=2\lim_{\e\downarrow 0, \e'\downarrow 0}
\int_{\arcsin \sqrt\e}^{\arcsin\sqrt{1-\e'}}\;dt\\
&=\pi.\endalign$$
となります．

\bigskip
[3] これは，わざと問題が紛らわしいように書いてある点もあり，
何を証明すべきかわかっていない答案が大半でした．
もう一度，何が聞かれているのかをはっきり書きます．

$f(x)$を閉区間$[a,b]$上の連続関数とすると，もちろん普通の
意味で積分することができます．一方，わざと点$b$における値を
忘れて，$f(x)$が区間$[a,b)$上でだけ定義されていると考えると，
広義積分を考えることができます．この両者は
同じ記号$\dsize\int_a^b f(x)\;dx$と書くことになっているので，
両者に食い違いがあると困ってしまいます．そのような困ったことは
起こらないと期待されますが，本当に起こらないということを証明するのが
この問題の質問です．

さてそこで，$x\in[a,b]$に対し，
$F(x)=\dsize\int_a^x f(t)\;dt$とおきます．（ただし，
$x=b$の時，この積分の意味は通常の連続関数の閉区間における
定積分 --- 問題における後者の定積分 --- です．）

一方，広義積分の方は，定義によって
$$\lim_{\e\downarrow 0}\int_a^{b-\e}f(t)\;dt=
\lim_{\e\downarrow 0}F(b-\e)$$
なので，結局証明すべき式は，
$\dsize \lim_{\e\downarrow 0}F(b-\e)=F(b)$
となります．すなわち，$F(x)$が点$b$で，（左からの
極限について）連続であることを証明することになります．

関数$f(x)$は$[a,b]$で連続なので，授業でやったとおり，
原始関数$F(x)$は微分可能関数となり，特に$[a,b]$で連続
となってO.K.です．

また，直接$F(x)$の連続性を示そうとすれば，
$$\align
\lim_{\e\downarrow 0}|F(b)-F(b-\e)|&=
\lim_{\e\downarrow 0}\left|\int_{b-\e}^bf(t)\;dt\right|\\
&\le\lim_{\e\downarrow 0}\int_{b-\e}^b|f(t)|\;dt\\
&\le\lim_{\e\downarrow 0}(\e\max_{t\in [a,b]}|f(t)|)\\
&=0
\endalign$$
とすることもできます．
（連続関数$|f(x)|$は，閉区間$[a,b]$で最大値を取るので，
$\dsize\max_{t\in [a,b]}|f(t)|<\infty$であることに注意します．）

\bye