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\def\R{{\bold R}}
\def\e{{\varepsilon}}

\centerline{数学I A (理科I類17,18,27,28組)前期期末テスト略解・解説}
\rightline{1994年10月　河東泰之}
\bigskip

答案の上に数字が二つ書いてありますが，左側の数字が
期末試験そのものの点数（各問25点，125点満点）で，右側の
点数（○で囲ってある数字）が正式のこの科目の成績
（教務課に提出したもの）です．
この算出法は次のとおりです．
（演習の成績は１年間の通算でつけるので，今回は何もつけていません．）

まず，学期末試験の点数を，$x_1$点，
5月18日の中間テストの点数を，$y_1$点，
6月29日の中間テストの点数を，$y_2$点とします．
次に$x_1$に5を加え，さらに100を越えた場合は$x_1$を100とおき直します．
そして，総合点$x$を
$$x=0.4x_1+0.3\max(x_1,y_1)+0.3\max(x_1, y_2)$$
とおき，さらに
$45\le x<50$の場合は$x=50$とおき直します．こうして得られた$x$が
総合成績です．（これは，4月に宣言したものより，甘い方向に
少し変わっています．）

期末試験そのものの
平均点は，62.4点，得点分布は次のとおりです．

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&&\omit &\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--19 (点) && 20--39  && 40--59 && 60--79 && 80--99 && 100--124 && 125 & \cr
\vsp\t
& 5(人) &&  8 &&  8 && 12 && 6 && 5 && 1 & \cr
\vsp\t
}}$$


また，総合成績の平均は67.7点，得点分布は次のとおりです．

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--24 (点) && 25--49  && 50--64 && 65--79 && 80--99 && 100 & \cr
\vsp\t
& 3(人) &&  4 &&  12 && 7 && 12 && 7 & \cr
\vsp\t
}}$$

\bigskip [1] 
答えは「（定数関数0に）一様収束している」です．
$x\in [0,\infty)$の時，
$0\le x/(1+nx)<1/n$なので，任意の$\e>0$に対し，
自然数$N$を$N>1/\e$となるように取れば，
$n\ge N$の時すべての
$x\in [0,\infty)$に対して
$|0-x/(1+nx)|<1/n<\e$となって，証明が終わります．

収束先の計算を間違えて，たとえば$1/x$に収束するなどと
勘違いした人が結構いました．

一様連続と混同したり，また「各点収束なので，一様収束」
などと誤った主張をした人もいました．（これが
誤りであることは，
たとえば
関数列$\left\{\dfrac{x^2}{1+nx}\right\}_{n=1,2,3,\dots}$を
考えればわかります．）

\bigskip [2] 
これは，もちろん高校数学のようにやってもできますが，一番簡単なのは
Taylor展開することです．$x=0$のときは明らかで，
$x>0$の時は，
$f(x)=(1+x)^{3/2}$とすると，
$f'(x)=3(1+x)^{1/2}/2$,
$f''(x)=3(1+x)^{-1/2}/4$,
$f'''(x)=-3(1+x)^{-3/2}/8$なので，Taylorの定理より，
$f(x)=1+3x/2+3x^2/8-(1+c)^{-3/2}x^3/16$が成り立つような
$c$が$0<c<x$の範囲に存在します．
$-x^3/16\le-(1+c)^{-3/2}x^3/16\le 0$
ですから問題の式を得ます．

あるいは，右側の不等式をこうやって示したあと，左側については
もう1次高いTaylor展開を使うこともできます．

Taylor展開を有限次で止めずに，無限級数に展開した人も
かなりいました．しかしこうすると，収束の問題が生じてしまいます．
実際，この例では
$x>1$で収束しなくなってしまうので，問題の$x\ge0$という
条件に適合しなくなります．

\bigskip [3] 
これは，$f(tx,ty)=t^k f(x,y)$
の両辺を$t$で2回微分して，$t=1$とすれば，
問題の式そのものが出ます．この方法（$t$で微分したあと，$t=1$とおく）
は，2変数のTaylor展開のところでやったのですが，みんな
忘れてしまったのか，できはよくありませんでした．

また，
条件$f(tx,ty)=t^k f(x,y)$を満たす$f$は，
$k$次の項だけからなる多項式であることを言おうとしている
人が結構いましたが，これは誤りです．

\bigskip [4] 
これは，標準的な計算問題ですが，計算ミス，極値条件の
思い違いなどがたくさんありました．

まず，普通に微分していくと，
$$\align
f_x&=(4x-2xy^2-4x^3)e^{-x^2-y^2},\\
f_y&=(2y-4x^2y-2y^3)e^{-x^2-y^2},\\
f_{xx}&=(4-20x^2+4x^2y^2-2y^2+8x^4)e^{-x^2-y^2},\\
f_{xy}=f_{yx}&=(-12xy+4xy^3+8x^3y)e^{-x^2-y^2},\\
f_{yy}&=(2-4x^2-10y^2+8x^2y^2+4y^4)e^{-x^2-y^2}
\endalign$$
となります．
そこで，$f_x(x,y)=f_y(x,y)=0$の点を探すと，
$(x,y)=(0,0),(\pm1,0),(0,\pm1)$の5通りとなります．
これらについて，Hessianを見れば，
$(x,y)=(0,0)$で，極小値$0$,
$(x,y)=(\pm1,0)$で，極大値$2/e$をとることがわかります．

まず，
$f_x(x,y)=f_y(x,y)=0$の点を探すところで，計算ミス，勘違い
がかなりありました．また，偏微分の計算ミスも
たくさんありました．

この問題は，関数がきれいな形をしているため，答えの
見当は次のように簡単についてしまいます．ですから，
計算ミスで違う答になった人は本来，おかしいということに
気付くべきです．

まず，$(x,y)=(0,0)$で$f(x,y)=0$, その他の点で$f(x,y)>0$
となるのは明らかなので，$f(0,0)$が最小値です．
次に$f(x,y)=(x^2+(x^2+y^2))e^{-x^2-y^2}$と書いて，
$x^2+y^2=r^2$ $(r>0)$という円周上で考えれば，
明らかにこの円周上での最大値は
$f(\pm r, 0)=2r^2 e^{-r^2}$
です．$r>0$を動かせば，
関数$2r^2 e^{-r^2}$の最大値は$0<r<\infty$に一ヶ所あり，
$r=1$のときの
$2/e$であることはすぐにわかります．
ですから結局，
$(x,y)=(0,0)$で，最小値$0$,
$(x,y)=(\pm1,0)$で，最大値$2/e$をとることがわかり，
これ以外に極値はないことは，関数のグラフを思い浮かべれば
容易に「推定」できます．（「証明」には
もう少し議論がいりますが．）

このように，まずだいたいどんなグラフになるかを考えるのは
重要なことです．

また，$X=x^2, Y=y^2$とおいて，
$(2X+Y)e^{-X-Y}$の問題に直そうとしている人が何人か
いましたが，これは$x=0$または$y=0$のところで問題があるので
かなりくふうしないとうまくいきません．

\bigskip
5番は証明問題なので，まず省略のない完全な証明を示します．

\bigskip [5A] 
まず$A, B$はいずれも空ではないので，
$a_0\in A$, $b_0\in B$となる有理数$a_0, b_0$を取る．もちろん，
$a_0<b_0$である．
次に$a_0+kr/2$ ($k=0,1,2,\dots$)という形の有理数を考えると，
$k=0$の時，$A$の元となり，$k\ge 2(b_0-a_0)r$の時，
$B$の元となるので，ある$k$に対して，
$a_0+kr/2\in A$, $a_0+(k+1)r/2\in B$となることがわかる．
（厳密には，背理法で$k$に関する数学的帰納法を使う．）このとき，
$a=a_0+kr/2\in A$, $b=a_0+(k+1)r/2\in B$と
おけば
$0<b-a=r/2<r$である．

\bigskip [5B] 
$a_1\le a_n<b_n\le b_1$より，数列$\{a_n\}_n$, $\{b_n\}_n$
はいずれも有界である．
数列$\{a_n\}_n$は単調増大, 数列$\{b_n\}_n$は単調減少なので，
それぞれ極限値$\alpha$, $\beta$を持つ．
$$\beta-\alpha=\lim_{n\to\infty}b_n
-\lim_{n\to\infty}a_n=
\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=
\lim_{n\to\infty}|b_n-a_n|=0$$
だから，$\alpha=\beta$である．
$n$を任意に決めたあと，$m>n$という$m$全体を考えて
$a_n\le a_m<b_m\le b_n$で，$m\to\infty$とすれば，
$a_n\le \alpha=\beta\le b_n$を得るので，
任意の自然数$n$について
$\alpha\in [a_n, b_n]$である．

次に，$\alpha'$がすべての
自然数$n$について
$\alpha'\in [a_n, b_n]$を満たしたとすると，
$a_n\le \alpha'\le b_n$で，$n\to\infty$として，
$\alpha\le\alpha'\le\beta=\alpha$となる．よって，
すべての$[a_n, b_n]$にふくまれる実数は$\alpha$一つだけである．

\bigskip

[5A]は，ほかにも方針はありますが，ほとんどの答案は，だいたいできているか，
まるでおかしいかの二つに一つでした．

[5B]は，まずいきなり
$\lim_{n\to\infty}|b_n-a_n|=0$だから，
$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n$
とかいたものがたくさんありましたが，
これでは論理的に飛躍しており，
$\lim_{n\to\infty}a_n$, $\lim_{n\to\infty}b_n$
が存在することを先に示さなくてはなりません．
（例えば，$a_n=b_n=n$といった数列を考えてみてください．）

また，
$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha$としたあと，
すべての$n$に対し，$a_n<\alpha<b_n$と書いた人もかなりいましたが，
これは
$a_n\le \alpha\le b_n$でないといけません．
（例えば，$a_n=0$, $b_n=1/n$, $\alpha=0$.）

最後の「一つだけ」存在する，という点もいいかげんな解答がけっこう
ありました．


\bye