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\centerline{数学I A中間テスト(その2)略解・解説}
\rightline{河東泰之}

配点は下記の通りで，合計110点です．100点を越えた場合は100点で頭打ちです．
平均点は，51.9点，得点分布は次のとおりです．

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--19 (点) && 20--39  && 40--59 && 60--79 && 89-99 && 100 & \cr
\vsp\t
& 3 (人) && 10 && 10 && 8 && 3 && 2 & \cr
\vsp\t
}}$$

\bigskip
[1] （20点）
$z=0$は明らかに解ではないので，
$z=r e^{i\theta}$ ($r>0$, $0\le\theta<2\pi$)とおいて，
$z^n=r^n e^{in\theta}=1$とすれば，
$r=1, \theta=0,2\pi/n, 4\pi/n,\dots,2(n-1)\pi/n$となるので，
答えは
$z=\cos 2\pi/n+i\sin 2\pi/n$,
$\cos 4\pi/n+i\sin 4\pi/n$, $\dots$,
$\cos 2(n-1)\pi/n+i\sin 2(n-1)\pi/n$の$n$個です．

また，この$n$個が解であることを直接計算し，$n$次方程式には
たかだか$n$個の解しかないこと（因数定理からわかる）を使ってもO.K.です．

\bigskip
[2] （30点）
(1) $\dsize\lim_{n\to\infty}\frac{n^3}{(n+1)^3}=1$より，収束
半径は1です．

(2) $\dsize\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)!}{n!}=\infty$なので，
収束半径は0です．

(3) $$a_n=\cases 1, &\hbox{$n=m^2$となる$m$がある時},\\
0, &\hbox{その他の時}.
\endcases$$
なので，
$\dsize\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=1$
となり，
収束半径は1です．

\bigskip
[3] （30点） まず切り捨てによって，すでに
$0.0000003333\dots$の誤差が生じていることに注意します．

Taylor展開の剰余項を直接計算すると，
$(\cos c)x^5/5!$, ($0<c<x$)となります．
（問題の式は3次までですが，$\sin$のTaylor展開の
4次の項は0なので，4次まであると思って5次の剰余項を考えます．）
$0<\cos c<1$ですから，この値は
$\frac{(0.1)^5}{5!}=0.00000008333\cdots$
以下です．これと最初の切り捨て誤差を
合わせて，誤差の合計は
$0.000000416666\cdots<4.17\times 10^{-7}$以下となります．

一方，直接Taylor展開の続きの項（無限個）を評価しても，誤差は，
$x=0.1$として，
$$\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots<
\frac{x^5}{5!}=0.00000008333\cdots$$
なので，最初の切り捨ての分と合わせてと合わせてやはり，
$4.17\times 10^{-7}$以下となります．

Taylor展開の剰余項を直接計算する時，4次の剰余項を使ってしまうと
$(\sin c)x^4/4!$, ($0<c<0.1$)となります．ここで，
$0<\sin c<c<0.1$を使うと，これは
$4.1666\cdots\times 10^{-7}$となります．これと最初の切り捨て誤差を
合わせて，誤差の合計は$7.5\times 10^{-7}$になります．これは
上の答えより精度が悪いので，3点減点します．
またこの方法で，
単に$\sin c<1$としてしまうと，さらに一桁精度が下がって，$4.5\times 10^{-6}$
となります．これは6点減点にしました．

なお，コンピュータで計算すると，
$\sin 0.1=0.0998334166468281\dots$です．

\bigskip
[4] （30点）正の数$M$を，
すべての実数$x$に対して$|f'(x)|<M$となるように取ります．
任意に与えられた正数$\varepsilon$に対し，
$\delta=\varepsilon/M$とおきます．実数$x,x'$に対し，
$0<|x-x'|<\delta$であれば
平均値の定理より，$x$と$x'$の間に$x''$が存在して
$$\left|\frac{f(x)-f(x')}{x-x'}\right|=
|f'(x'')|< M$$
となるので，
$|f(x)-f(x')|<M\delta=\varepsilon$を得ます．これは，すなわち
一様連続性を示しています．

\bye