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\centerline{2008年度数学I演習小テスト(8)解答解説}
\medskip
\rightline{2008年11月10日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は[1] 15点$\times 3$,
[2] (Taylor 展開10点 + 収束半径 5点)$\times 3$,
[3] 10点です．
平均点は77点，最高点は100点(15人)でした．
解答例を下につけます．

\bigskip
[1] (1) $\dsize\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2+1}\frac{(n+1)^2+1}{n+1}=1$
より，ダランベールの公式により収束半径は1である．

(2) $\dsize\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)\log(n+1)}{n\log n}$ を
求める．$\log n < \log(n+1) < \log(2n)=\log 2+\log n$を
用いて
$\dsize\lim_{n\to\infty}\frac{\log n}{\log n}=1$,
$\dsize\lim_{n\to\infty}\frac{\log 2n}{\log n}=1$ より，
$\dsize\lim_{n\to\infty}\frac{\log (n+1)}{\log n}=1$ がわかる
ので，$\dsize\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)\log(n+1)}{n\log n}=1$である．
よって，ダランベールの公式により収束半径は1である．

(3) $x\ge0$ の場合をまず考えると，
$\dsize\sum_{n=1}^\infty x^{n^2}$ は，
$\dsize\sum_{n=1}^\infty x^n$ の途中の項を飛ばしたもので，
各項は0以上なので，$x < 1$ であれば後者が収束することより，
前者も収束する．よって，$x<0$ の場合も 
$\dsize\sum_{n=1}^\infty |x^{n^2}|$ を考えることにより，
$|x| < 1$ で収束することがわかる．一方，$|x| > 1$ であれば，
$n\to\infty$ のとき $|x^{n^2}|\to\infty$ であるので，問題の
無限級数は収束しない．以上のことより収束半径は1である．

\bigskip
[2] (1) 通常の2項定理より，
$1+\dsize\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}3^n(2n-3)!!}{2^n n!}x^n$
である．(ただし，$(-1)!!=1$ とした．) また，この収束半径は
$$\lim_{n\to\infty}\frac{3^n(2n-3)!!}{2^n n!}
\frac{2^{n+1} (n+1)! }{3^{n+1}(2n-1)!!}=\frac{1}{3}$$
より，ダランベールの公式によって $1/3$ である．

(2) $\log(1+x)$ を Taylor 展開した無限級数で $x$ の代わりに
$x^2$ を代入したものが求めるものである．よって答えは
$\dsize\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{2n}$ 
である．収束半径は，ダランベールの公式によって
$\log(1+x)$ のときに1なので，
こちらの Taylor 展開についても1である．

(3) $\dfrac{1}{1-x}=\dsize\sum_{n=0}^\infty x^n$ 
という Taylor 展開の両辺を2回微分すれば項別微分に
よって，
$\dfrac{2}{(1-x)^3}=\dsize\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)x^n$ 
を得る．これより，
$\dfrac{2}{(1+x)^3}=\dsize\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)(-x)^n$ 
なので，両辺足して2で割れば，
$\dfrac{1}{(1-x)^3}+\dfrac{1}{(1+x)^3}=
\dsize\sum_{n=0}^\infty (2n+2)(2n+1)x^{2n}$ となる．
$t=x^2$ として$\dsize\sum_{n=0}^\infty (2n+2)(2n+1)t^n$
の収束半径をダランベールの公式で求めると1である．よって，
今求めた Taylor 展開の収束半径も1である．

\bigskip
[3] $\dsize\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}$ とすればよい．
$\dsize\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2}{n^2}=1$なので，
ダランベールの公式より確かに収束半径は $1$ である．
また，$x=\pm1$ のとき，絶対値をつけた無限級数は
$\dsize\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ となるが，これが
収束することはすでに前回小テスト示されているので，
$x=\pm1$ でも確かに収束する．

\bye