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\begin{document}
\centerline{2013年数学I期末テスト略解・解説}
\medskip
\rightline{2013年9月10日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

各問20点の100点満点です．あと少しで B, C の成績で，中間試験が
良かった人にはプラスアルファの点がついています．その場合は
$48+2=50$ のように一番上に書いてあります．
点数がおかしいと思う人は直ちに申し出てください．答案はすべて
コピーがとってあります．
平均点は65.2点，最高点は100点(4人)で，成績分布は次の通りでした．

\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline
0--49 & 50--59 & 60--69 & 70--79 & 80--89 & 90--99 & 100 & 合計 \\ \hline
26(人) & 33  & 20 & 23  & 23 & 17 & 4 & 146 \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

以下簡単な計算は省略しますが，答案では計算もきちんと書く必要が
あります．

\bigskip
[1] これは超基本問題です．Taylor 展開の方が速いですがロピタルの
定理を知っていれば高校生でもできます．計算は省略して答えだけを
書きますが，これはとても簡単なので答えが違うものは即座に0点
にしてあります．各10点です．

(1) $2/3$.

(2) $81/4$.

\bigskip
[2] $f(x)=\tan x$ とおくと，
$f'(x)=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}$,
$f''(x)=\displaystyle\frac{2\sin x}{\cos^3 x}$,
$f'''(x)=\displaystyle\frac{2(3\sin^2 x+\cos^2 x)}{\cos^4 x}$,
$f''''(x)=\displaystyle\frac{8\sin x(2+\sin^2 x)}{\cos^5 x}$,
$f'''''(x)=\displaystyle8\frac{2+11\sin^2 x+2\sin^4 x}{\cos^6 x}$
なので，Taylor 展開は
$$\tan 0.05 =0.05+\frac{1}{3}(0.05)^3+
\frac{1}{15}\frac{2+11\sin^2 c+2\sin^4 c}{\cos^6 c}(0.05)^5$$
です．(ただし $0 < c < 0.05$.) ここで $\sin c < c $ と
$2+11 c^2+2c^4<3$,
$$1/\cos^6 c < 1/(1-c^2/2)^6 <(1+c^2)^6 <2$$ より
剰余項は $6(0.05)^5/15<0.0000002$ で上から抑えられるので，
$0.05+\frac{1}{3}(0.05)^3=0.0500416666\cdots$ と合わせて
答えは $0.050041$ です．四捨五入している人がたくさんいましたが，
問題は切り捨てるよう求めています．また剰余項が無視できると
言うことを根拠なく主張している人がたくさんいましたが減点
です．(もう少し先の項まで書いても同じことです．$0.05^7$ が小さい，
というのは係数を見ていないので理由として不十分です．)

$\tan x=\sin x/\cos x$ で分母分子を Taylor 展開してもできますが，
正しく誤差を評価するのは少し面倒になります．

なお正しい数値は $0.05004170\cdots$です．

\bigskip
[3] 合成関数の微分公式に代入するだけの超基本問題です．
$$\frac{\partial f}{\partial x}=
\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{\partial f}{\partial r}+
\frac{-y}{x^2+y^2}\frac{\partial f}{\partial \theta},$$
$$\frac{\partial f}{\partial y}=
\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{\partial f}{\partial r}+
\frac{x}{x^2+y^2}\frac{\partial f}{\partial \theta}$$
です．右辺を $r,\theta$ を使って書いてもO.K.です．
簡単な問題なので計算ミスは大幅に減点してあります．

\bigskip
[4] これも決まった通りにやるだけの超基本問題なので
答えだけ書きます．まず $f_x=f_y=0$ を解いて，極値を取る点
の候補は $(x,y)=(0,1/2),(1,1),(-1,1)$ の3つです．
授業でやった通りの方法で機械的に判定できて，最初の点では
極値を取らず，あとの2点では極小値 $-4$ を取ります．
「極値を求めよ」と言う問題なので，
値 $-4$ を書いていない人は減点です．

\bigskip
[5] これもまず $f_x=f_y=0$ を解くと $a\neq0$ のときは
$(x,y)=(1/2,1/4)$ だけが極値を取る点の候補です．あとは
[4] と同じように判定すれば $a<0$ の時はこの点では
極値を取らず，$a>0$ の時はこの点で極値を取ることがわかります．
$a=0$ のときは
$f(x,y)=(x+2y-1)^2+2$ となり，直線 $x+2y-1=0$ 上で
一定値 $2$ を取るので授業でやった極値の定義(いわゆる
狭義の極値)だとこれは極小値を取りません．よって答えは
$a\le 0$ となります．なお広義の極値の定義を採用した場合
は $a=0$ の時も極小値を取ることになり，答えは $a < 0$ と
なります．こちらの定義を採用していることがはっきり
している答案は減点していません．

$a=0$ の場合の処理以外はこれも超基本問題ですが，
$f_x=f_y=0$ を解くところでおかしくなっている人が
たくさんいました．

\end{document}