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\begin{document}
\centerline{2013年数学I期末テスト(9月2日)}
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\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

時間は90分です．
このテストは，ノート，本，コピーなど紙に書かれたものすべての
持ち込み可で行います．電子機器の使用は不可です．
途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

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[1] 次の極限値を求めよ．計算の根拠をきちんと示すこと．

(1) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{2\log(1+x)-2x+x^2}{\sin^3 x}$.

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(2) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos x)^2}{((1+x)^{1/3}-1)^4}$.

\bigskip
[2] $\tan 0.05$ を小数点以下6桁まで求めよ．
(小数点以下7桁目以降を切り捨てて6桁までにすると言う意味である．
答えの数値が正しいことの根拠をきちんと示すこと．)

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[3] $x>0$, $y>0$ とし，$r=\sqrt{x^2+y^2}$, $\theta=\arctan(y/x)$
とおく．$r,\theta$ の $C^\infty$級関数 $f(r,\theta)$ について，
$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}$,
$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}$
を求めよ．

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[4] 次の関数の極値を求めよ．ただし，$(x,y)$ は平面全体を動く．
$$f(x,y)=5x^4-8x^2+2y^2-2x^2y-2y+1.$$

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[5] 次の関数が極値を持たないための，実数の定数$a$についての
必要十分条件を求めよ．ただし，$(x,y)$ は平面全体を動く．
$$f(x,y)=(a+1)x^2-4(a-1)xy+4(a+1)y^2-2x-4y+3.$$

\end{document}