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\begin{document}
\centerline{2013年数学I中間テスト}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に
学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート，本，コピーなど紙に書かれたものすべての
持ち込み可で行います．電子機器の使用は不可です．

{\bf 不正行為が発見された場合は，この学期の数学Iの点数を0点とし，
さらに今学期の成績を全科目0点とするよう教務委員会に申請します．}

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

\bigskip
[1] 以下の小問の両方とも，複素数は
$a+bi$ ($a,b$は実数)の形で答えること．

(1) $z^2=-i$ となる複素数をすべて求めよ．

(2) $\exists n\in{\mathbb N}\; z^n=1$ を満たす複素数 $z$ をすべて求めよ．
ただしここで $\mathbb N$ は自然数全体の集合を表し，
$\{1,2,3,\dots\}$ のことである．

\bigskip
[2] 次の極限の値を求めよ．

(1) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^2 x-x^2}{\sin^4 x}$.

(2) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(\log (1+x)-x)^2}{(\sqrt{1+x}-1)^4}$.

\bigskip
[3] $x>-1$ の範囲で $f(x)=(1+x)^{-5/2}$ の $x=0$ のまわりでの
Taylor 展開を ($x$の$n$次式)$+$剰余項の形で書け．($n$は正の整数である．)
さらに剰余項がいつ正になるかを決定せよ．

\bigskip
[4] 次の極限値が存在するように $a,b,c,d$ の値を決め，その時の極限値を
求めよ．

$$\lim_{x\to 0} \frac{x\tan x-a-bx-cx^2-dx^3}{x^4}.$$

\bigskip
[5] 
$\log (50/49)$ を四捨五入で小数点以下4桁まで求めよ．
(小数点以下5桁目を四捨五入して，4桁までにすると言う意味である．
答えの数値が正しいことの根拠をきちんと示すこと．)

\end{document}