Subequivalent systems of bimodules

河東泰之（東大・数理） Yasuyuki Kawahigashi

この仕事の目的は， subparagroup にあたる概念を導入し， subparagroup と中間環の間の「量子 Galois 対応」と確立することである．

そのため，佐藤 [S] による同値な subfactor/paragroup の定義から出発する． Finite index, finite depth を持つ subfactor N ⊂ Mから生じる N-N bimodule のシステムと M-M bimodule のシステムは「同じ」情報を含んでいると考えられる．この考えに基づき， Ocneanu [O1] は，このようにして生じうる 2 つの bimodule のシステムを equivalent と定義した．さらに，佐藤は，二つの subfactor が同値な bimodule のシステムを生じる時，これらの subfactor は (あるいは対応する paragroup は) 同値であると定義した． (ここでは， paragroup とは， finite index, finite depth の subfactor から生じるもののこととする． Subfactor に trivial relative commutant の条件は仮定しない． )

次に paragroup π_{1}が， A-A, A-B, B-A, B-B の 4 種の bimodule からなるとする． (正確には，抽象的な paragroup の話なので， bimodule ではなく， fusion rule algebra と quantum 6j-symbol で話を進めるべきだが， hyperfinite の場合の話をするので，簡単のため最初から bimodule で話を進める． ) そして， C-C, C-D, D-C, D-D の 4 種の bimodule からなる， paragroup π_{2}を別に取る． π_{2}の C-C bimodule のシステムがπ_{1}の A-A bimodule のシステムとサブシステムと同型である時， π_{2}はπ_{1}の subparagroup であると定義する．さらに，二つの paragroup π_{1}, π_{2}について， π_{1}と同値な paragroup π_{0}が， π_{2}を subparagroup として持つように選べる時， π_{2}はπ_{1}に subequivalent であると定義する．

π_{2}がπ_{1}に subequivalent で，さらにπ_{3}がπ_{2}に subequivalent ならば， π_{3}はπ_{1}に subequivalent である． π_{1}がπ_{2}に subequivalent で，さらにπ_{2}がπ_{1}に subequivalent ならば， π_{1}とπ_{2}は equivalent である．

一方， N ⊂ Mに対する generalized intermediate subfactor の概念が Ocneanu [O2] によって導入されている． N ⊂ P ⊂ Mとなる P が明らかに intermeidate subfactor であるが，このようなものに限らず，一般化された定義を導入することがここでの目的には必要である． (量子群から生じる subfactor などでは，たいていの場合，上のような P は trivial なものしかない．しかし，下に定義する generalized intermediate subfactor はおもしろいものが存在することがしばしばある． )

N ⊂ Mを index 有限の subfactor とする． N ⊂ M ⊂ M_{1} ⊂ M_{2} ⊂ ⋯ を Jones tower とし， p を N′ ∩ M_{k}の non-zero projection とする． pN ⊂ P ⊂ Q ⊂ p(M_{k})p となるような subfactor P ⊂ Q を N ⊂ Mの generalized intermediate subfactor と定義する．

Ocneanu は，この定義に基づき， E_{6}, E_{8}型の subfactor が，それぞれ A_{11}, A_{29}型の subfactor の generalized intermediate subfactor として実現できることなどを [O2] で示している．

このとき，次の定理が成り立つ． Theorem. N ⊂ Mを finite index, finite depth を持つ hyperfinite II_{1} factor の inclusion とし， πを対応する paragroup とする．このとき， N ⊂ Mの generalized intermediate subfactor の同型類と， πの subequivalent paragroup の同型類との間に 1 対 1 対応が存在する．

証明には佐藤 [S] の， commuting square から 2 つの subfactor を作る技術を使う． [S] については詳しくは本研究報告集内の報告を参照のこと．

References

[O1] A. Ocneanu, An invariant coupling between 3-manifolds and subfactors, with connections to topological and conformal quantum field theory. preprint, 1991.

[O2] A. Ocneanu, Paths on Coxeter diagrams: From Platonic solids and singularities to minimal models and subfactors, in preparation.

[S] N. Sato, Constructing a non-degenerate commuting square from equivalent systems of bimodules, preprint 1997.