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\def\ran{\rangle}
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\centerline{数理科学 II 期末予備テスト解答・解説}
\medskip
\rightline{2002年6月27日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は，[1]から順に $15\times 3$, 35, $20+15$, 30点です．
平均点は，69.3点で次のような得点分布でした．
採点はティーチングアシスタント
(大学院生)の竹内君です．返す答案はコピーが取ってあります．

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit &&\omit &&\omit &&\omit &&\omit 
&\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--49 (点) && 50--59  && 60--69 && 70--79 && 80--89 && 90--99 && 100--109 && 110--145 & \cr
\vsp\t
& 23(人) &&  7 && 13 && 26 && 21 && 16 && 3 && 0 & \cr
\vsp\t
}}$$

すべての問題で，形式的に微分方程式の両辺を割ったりするときに，
分母が0になる場合の吟味が不十分なものは減点です．理論的根拠の説明など
は下記の略解では簡単にしてありますが，答案ではもっと詳しく書かないと
減点になります．本番の期末試験でも，形式，内容等は同程度のものが
出ます．(同じ，あるいはそっくりな問題が出るという意味ではありません．)

\bigskip
[1] いずれも，解の存在と一意性が使える形をしている．
(3) は定数係数の常微分方程式の一般論と言ってもよい．

(1) まず，$y=0, -1$ (定数関数)はいずれも解である．解の一意性より，
これ以外の解は，値 $0,-1$を取らないので普通に変数分離形として
解けばよい．
答えは $y=\dfrac{1}{c e^{-x}-1}$ ($c$ は任意の定数) または $y=0$.
あるいは，$y=\dfrac{c e^x}{1-c e^x}$ ($c$ は任意の定数)
または $y=-1$ と書いても同じことである．
もちろん分母が 0 になるところではこの関数は定義されていない．

(2) 非斉次の一階線形方程式と思ってもよいし，$2xy$ を右辺に移項して
変数分離形だと思ってもよい．$y=-\dfrac{1}{2}$ (定数関数)は解であり，
解の一意性より，これ以外の解は，値 $-\dfrac{1}{2}$を取らないことに注意する．
答えは $y=-\dfrac{1}{2}+c e^{x^2}$. ($c$ は任意の定数．)

(3) $t^2+2t+1=0$ の根は2重根 $t=-1$ だから，一般解は
$y=a e^{-x}+bxe^{-x}$ の形である．条件より，定数 $a,b$を求めると
$a=1$, $b=2$ となるので，$y= e^{-x}+ 2xe^{-x}$.

\bigskip
[2] $x\neq0$ では，$y'=\dfrac{2y}{x}+\dfrac{y^2}{x^2}$ と書けて，
解の存在と一意性が使える形をしており，さらにこれは同次形である．
この解は普通に$u=\dfrac{y}{x}$ とおいて解いて，
$y=\dfrac{x^2}{c-x}$ ($c$ は任意の定数)と，$y=0,-x$ 
である．($y=-x$の方は $c=0$の場合と思ってよい．)$c\neq0$の場合は，
「実数全体で定義された解」にならないので，残る候補は
$y=0,-x$だけである．これらは，$x=0$の場合も含めて解になっている
のでO.K.である．よって答えは$y=0,-x$.

\bigskip
[3] $y=e^{2x}, xe^{2x}, e^{-x}$の3つも解であることに
注意すると，$t=2$ が2重根，$t=-1$ が単根であるような3次方程式は
$t^3-3t^2+4=0$であるから，$a=-3, b=0, c=4$である．

3階の非斉次方程式は授業でやっていないが，2回のときの類推で
$y= k e^{3x}$ とおいて解を探してみると$k=1$ でよいことがわかる．
よって答えは，$e^{3x}$ である．(もちろん，これに
$c_1 e^{2x}+c_2 xe^{2x}+c_3 e^{-x}$を加えたものが一般解なので
この形を挙げてもよい．)

\bigskip
[4]
答えはもちろんいくらでもあるが，
たとえば，$y=cx(x-1)$が解になるように考えて，$\dfrac{y}{x(x-1)}$を
微分してゼロとおいて分母をはらうと，
$$-(2x-1)y+x(x-1)\dfrac{dy}{dx}=0$$
が出る．これが確かに条件を満たしていることが確かめられる．
この方程式では$x=2$のとき，$y=2$となる解は$y=x(x-1)$である．
($x\neq 0, 1$では解の一意性があるので，$y=cx(x-1)$の形で
$x=2$のときに$y=2$となるようにすればそれが唯一の解である．)
\bye