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\def\supp{\text{supp}}

\centerline{数理科学 II 演習問題}
\medskip
\rightline{2002年6月6日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip
これらは自分で理解を深めるための練習問題です．別にレポートにするとか，
前で解くとかいったものではありません．

\bigskip [1] 次の微分方程式の一般解を求めよ．

(1) $y''+4y'+5y=0$.

(2) $y'''+y''+y'-y=0$.

(3) $y'''-3y''-y'+3y=x$.

(4) $y''+3y'+2y=\cos x$.

(5) $y''-2y'-3y=x^2$.

(6) $y''+y'+y=x+e^x$.

(7) $y''-2y'+y=e^x \cos x$.

\bigskip [2] 
$y(0)=1, y'(0)=2, y''(0)=7$という条件のもとで
次の微分方程式の解を求めよ．
$$y'''-9y''+27y'-27y=0.$$

\bigskip [3] 
$y(0)=1$, 
$\dsize\lim_{x\to\infty} y(x)e^{-2x}=0$という条件のもとで
次の微分方程式の解を求めよ．
$$y'''-5y''+8y'-4y=0.$$

\bigskip [4] 
ある，非斉次2階定数係数線形常微分方程式の解が3個，次のように
与えられているとする．このとき，この微分方程式を求め，
その一般解を求めよ．

$$y_1=x^2, y_2=x^2+e^{2x}, y_3=1+x^2+2e^{2x}.$$

\bigskip [5] 
$a, b, c$ を正の定数とする．$g(x)$ を実数全体で定義された
連続関数とするとき，微分方程式
$$ay''+by'+cy=g(x)$$
の任意の二つの解の差は，$x\to\infty$ のとき 0 に近づくことを
示せ．

\bye