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\def\ran{\rangle}

\centerline{数理科学 II 中間テスト(2)解答解説}
\medskip
\rightline{2007年6月20日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は，[1] が 10点$\times4$, [2], [3]が30点ずつです．受験者は
133人，最高点は100点(2人)，平均点は51.8点でした．
[2], [3]が少し難しかったようで，期末試験ではもう15〜20点ほど
点が出るようにします．返却する答案はコピーが取ってあります．

\bigskip
[1] いずれも計算は簡単ですが，解が本当にそれしかないと言うことを
きちんと示さないと減点です．

(1) まず，$x\neq0$ の範囲で考えます．両辺を $x$ でわったものは
解の(存在と)一意性の定理が使える形になっています．
定数関数 $y=0$ は明らかに解なので，その他の解は値$0$を取りません．
その場合は，両辺を $y$ で割って，
$y'/y^2=1/x^2$ となります．両辺積分して，
$-1/y=-1/x+C$ となり，整理して $y=x/(1-Cx)$
($C$ は任意の定数) を得ます．次に $x=0$ でどうつながるかを
見ます．$y=x/(1-Cx)$ を $x=0$ でも連続にするには $y=0$ と
おかなくてはなりません．こうおくと，$C$ の値が何であっても
$x=0$ のとき $y'=1$ となって微分可能になり $x>0, x<0$ で
$C$ の値が違っても微分可能につながり，$x=0$ でも微分方程式は
成立していることがわかります．よって解は，
$y=0$ または，
$$y=\cases x/(1-C_1x),&x \ge 0\hbox{の時，}\\
x/(1-C_2x), & x < 0\hbox{の時，}\endcases$$
($C_1,C_2$ は任意の定数) となります．

(2) 同次形なので，$y=ux$ とおいて $u$ の方程式に直すと，
$u'x=u^2$ となります．これは $x\neq0$ の範囲で考えているので
そこで解の(存在と)一意性の定理が使える形になって，また
定数関数 $u=0$ は明らかに解です．よってこれ以外の解では
$u$ は値 $0$ を取りません．その場合は，$u$ で両辺を割って積分すると，
$-1/u=\log|x|+C$ ($C$ は任意の定数) を得ます．$y$ の式に戻すと，
$y=0$ または $y=-x/(C+\log|x|)$ ($C$ は任意の定数) となります．

(3) 右辺を$0$とした斉次方程式の解は $C e^{-x}$ ($C$ は任意の定数) 
であることは簡単にわかります．右辺を $e^{-x}$ とした非斉次方程式
の解の一つは $ax e^{-x}$ ($a$ は定数) の形で探して，
$x e^{-x}$ となります．さらに，右辺を $x$ とした非斉次方程式
の解の一つは，1次式で探して $x-1$ となります．以上をあわせて，
$C e^{-x} + x e^{-x} +x-1$ ($C$ は任意の定数) となります．

(4) 右辺を $0$ とした斉次方程式の解は，$t^2-3t+2=0$ の解が
$t=1,2$ であることより，$C_1 e^x +C_2 e^{2x}$ 
($C_1,C_2$ は任意の定数) となります．
右辺を $2x^2$ とした非斉次方程式の解の一つは，2次式の中で
探して，$x^2+3x+7/2$ となります．以上をあわせて，
$C_1 e^x +C_2 e^{2x} +x^2+3x+7/2$ 
($C_1,C_2$ は任意の定数) となります．

\medskip
[2] $t^2+pt+q=0$ の解を考えて場合わけします．

(I) まず，$q\neq0$ とします．このとき，定数関数 $y=r/q$ が
非斉次方程式の解の一つとなるので，問題の微分方程式の
解は，「斉次方程式の一般解」$+r/q$ の形になります．
$+r/q$ はあってもなくても，値が実数全体を取るかどうかに
関係ないので無視してかまわず，以下(I)では$r=0$の場合
を考えて，さらに場合を分けます．

(Ia) $p^2-4q>0$ の場合．
もう一度場合わけします．

(Ia-1) $q<0$ の場合．$t^2+pt+q=0$ の解は，正の実数
$\alpha$ と負の実数 $\beta$ になります．
$e^{\alpha x}-e^{\beta x}$ は解の一つで，すべての実数値を取るので
この場合は O.K. です．また，$q<0$ であれば
自動的に $p^2-4q>0$ になるので，条件としては $q<0$ だけを
書けばよいことになります．

(Ia-2) $q>0$ の場合．$t^2+pt+q=0$ の解は，二つの実数
$\alpha, \beta$ で共に正か，共に負になります．
このとき，解は $C_1 e^{\alpha x} + C_2e^{\beta x}$ の形の関数
で，これはすべての実数値を取ることはできません．
($C_1, C_2$ は任意の定数．)

(Ib) $p^2-4q=0$ の場合．
$t^2+pt+q=0$ の解は，二重解
$\alpha$ で正か負になります．
このとき，解は $C_1 e^{\alpha x} + C_2 xe^{\alpha x}$ の形の関数
で，これはすべての実数値を取ることはできません．
($C_1, C_2$ は任意の定数．)

(Ic)  $p^2-4q<0$ の場合．もう一度場合わけします．

(Ic-1) $p=0$ の場合．$t^2+pt+q=0$ の解は，純虚数
$\pm \alpha i$ ($\alpha$ は$0$でない実数) となります．
このとき，解は $C_1 \sin(\alpha x) + C_2 \cos(\alpha x)$ の形の関数
で，これはすべての実数値を取ることはできません．
($C_1, C_2$ は任意の定数．)

(Ic-2) $p\neq0$ の場合．
$t^2+pt+q=0$ の解は，
$\alpha\pm \beta i$ ($\alpha, \beta$ は実数，
$\alpha,\beta\neq0$) 
となります．このとき
$e^{\alpha x} \sin (\beta x)$ は解の一つで，
すべての実数値を取るのでこの場合は O.K. です．

(II) $q=0$ の場合．さらに場合わけします．

(IIa) $p\neq0$ の場合．さらに場合わけします．

(IIa-1) $r=0$ の場合．
このとき，解は $C_1 + C_2 e^{-px}$ の形の関数
で，これはすべての実数値を取ることはできません．
($C_1, C_2$ は任意の定数．)

(IIa-2) $r\neq0$ の場合．
$y=rx/p$ は解の一つで，
すべての実数値を取るのでこの場合は O.K. です．

(IIa) $p=0$ の場合．さらに場合わけします．

(IIb-1) $r=0$ の場合．
$y=x$ は解の一つで，
すべての実数値を取るのでこの場合は O.K. です．

(IIb-2) $r\neq0$ の場合．
このとき，解は $rx^2/2+C_1 x+ C_2$ の形の関数
で，これはすべての実数値を取ることはできません．
($C_1, C_2$ は任意の定数．)

以上をあわせて次の4つのケースが答えです．

(1) $q < 0$.

(2) $p^2-4q<0$, $p\neq0$.

(3) $p\neq 0$, $q=0$, $r\neq 0$.

(4) $p=q=r=0$.

\medskip
[3] (1) $1-(x-y)^2$ が0でないところでは，両辺これで割ると，
解の存在定理が使える形になるので，その点を通る解は存在します．
一方，$1-(x-y)^2=0$ であれば，微分方程式は左辺が $0$, 右辺が
$2$ となるので，その点では解はありません．よって答えは
$y=x\pm1$ です．

(2) $u=y-x$ とおきかえると，微分方程式
$(1-u^2)(u'+1)=1+u^2$
を得ます．これより，$(1-u^2)u'=2u^2$ となります．ある点で
$1-u^2=0$ になったとすると，その点では左辺は $0$, 右辺は
$2$ なので，この微分方程式は成り立ちません．その他の場合は，
両辺を $1-u^2$ で割ることができ，解の(存在と)一意性が使える
形になります．この場合は，定数関数 $u=0$ は明らかに解であり，
その他の解は値$0$を取りません．この場合については
$(1-u^2)u'=2u^2$ の両辺を $u$ で割って積分すると，
$-1/(2u)-u/2=x+C$ ($C$ は任意の定数) となります．
$u=y-x$ として分母を払うと，
$(x+C)^2-(y+C)^2=1$ を得ます．$y=x\pm1$ 上の点は解は通らない
ことに注意してこれを解いて，$y=x$ または
$y=-C\pm\sqrt{(x+C)^2-1}, y=x$ です．
($y=-C\pm\sqrt{(x+C)^2-1}$ における $x$ の範囲は
$x>1-C$ または $x<-1-C$ です．)

\bye