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\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{数理科学 II 中間テスト(2)}
\medskip
\rightline{2007年6月13日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

この試験は，ノート，本，コピーなど
すべて持ち込み可で行います．
解答には計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように
書いてください．多少欄外にはみ出してもかまいません．

\bigskip
[1] 次のそれぞれの微分方程式を解け．解が本当にそれだけである
理由をきちんと説明すること．特に両辺を何かで割る場合には，
それが 0 である場合の考察もきちんとすること．

(1) $x^2y'=y^2$.

(2) $y'=(xy+y^2)/x^2$, ($x\neq0$.)

(3) $y'+y=e^{-x}+x$.

(4) $y''-3y'+2y=2x^2$.

\medskip
[2] $p,q,r$ を実数の定数として，次の微分方程式を $-\infty < x < \infty$
の範囲で考える．
$$y''+py'+qy=r.$$
この微分方程式が，すべての実数値を取る解 $y(x)$ を少なくとも一つ持つ
ための条件を $p,q,r$ で表せ．

\medskip
[3] 次の微分方程式を $-\infty < x < \infty$ の範囲で考える．
$$(1-(x-y)^2)y'=1+(x-y)^2.$$

(1) どの解も通らない点はどこか．

(2) 上の微分方程式を解け．

\bye