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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{数理科学 II 中間テスト(1)}
\medskip
\rightline{2007年5月16日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

このテストは成績には関係ありません．ノート，本，コピーなど
すべて持ち込み可で行います．
解答には計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように
書いてください．多少欄外にはみ出してもかまいません．


\bigskip
[1] 次のそれぞれの微分方程式を解け．解が本当にそれだけである
理由をきちんと説明すること．特に両辺を何かで割る場合には，
それが 0 である場合の考察もきちんとすること．

(1) $y'+2xy=0$.

(2) $y'=3x^2(1+y^2)$.

(3) $x\neq0$ の範囲で $xy'+x+y=0$.

(4) $y'-2y=2x^2$.

\medskip
[2] 解が $y=C x^3+x^4$ になるような微分方程式を一つ求めよ．
ただし $C$ は任意の定数である．
($y=C x^3+x^4$ はその微分方程式の解であり，またその微分
方程式のすべての解はこの形である，と言う意味である．)
その微分方程式がこの条件を満たしていることをきちんと
説明すること．

\medskip
[3] 微分方程式 $2xyy'=y^2-x^2$ を考える．
初期値 $(a, b)$ を与えた時，その点を通るようなこの微分方程式の
解が存在しない $(a,b)$ をすべて求めよ．

\bye