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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{数理科学 II 期末テスト}
\medskip
\rightline{2005年7月25日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

このテストは，ノート，本，コピーなどすべて持ち込み可で行います．
途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．
(多少欄外にはみ出してもかまいません．)

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[1] 次のそれぞれの微分方程式を解け．解が本当にそれだけである
理由をきちんと説明すること．
(解の一意性に関する一般論を適用する場合は，
何をどのように適用したかを述べること．)

\medskip (1) $y'=\dfrac{-2xy}{x^2+1}$.

\medskip (2) $y'''-3y''+4y=4x^2-6,\quad y(0)=2, y'(0)=0, y''(0)=3$.

\medskip (3) $x^2 y'-3xy=-4, \quad y(1)=0$. 範囲は $x>0$.

\medskip
[2] 微分方程式
$$y^{(n)}+c_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+c_1 y'+c_0 y=0$$
を考える．ただしここで，$n$ は1以上の整数，
$c_{n-1},c_{n-2},\dots,c_0$ はすべて実数の定数である．
この形の微分方程式で，$y=x\cos x$ を解に持つようなものの中で，
$n$ が最も小さいものを求めよ．

\medskip
[3] 微分方程式
$$y^{(n)}+c_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+c_1 y'+c_0 y=f(x)$$
を考える．ただしここで，$n$ は1以上の整数，
$c_{n-1},c_{n-2},\dots,c_0$ はすべて実数の定数，
$f(x)$ は実数全体で定義された実数値の連続関数である．
この形の微分方程式で，$y=e^{2x}+e^{3x}$ と $y=e^{-x}+e^{3x}$ を解に
持つようなものの中で，$n$ が最も小さいものを求めよ．

\medskip
[4] 微分方程式 $(x^2-y^2)y'=2xy$ を考える．この方程式の初期値
$(x_0,y_0)$ で，その点を通るような解が一つもないものをすべて求めよ．

\medskip
[5] $a,b$ を実数とし，微分方程式 $y''+ay'+by=0$ に対し，次の
$V$ を考える．
$$V=\{y\mid y\text{は実数値を取る，上の微分方程式の解で}
\lim_{x\to\infty} y(x)=0\}.$$
この $V$ は実数係数のベクトル空間であるが，その次元が1である
ための必要十分条件を， $a, b$ で表せ．

\bye