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\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{数理科学 II 中間テスト(1)}
\medskip
\rightline{2005年5月16日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

このテストは成績には関係ありません．ノート，本，コピーなど
すべて持ち込み可で行います．
[1]については答えだけでけっこうですが，他の問題については計算，説明などを
きちんと書いてください．答案用紙は1枚両面です．それに収まるように
書いてください．

\bigskip
[1] 以下の各問に答えよ．この問題については答えだけでよく，説明は
不要である．

(1) オイラーの公式 $e^{ix}=\cdots$ の右辺を書け．

(2) $\dsize\lim_{h\to 0}\dfrac{\log (1+h)-h}{h^2}$ を求めよ．

(3) $\sin x$ の $x=0$ におけるテイラー展開
（マクローリン展開ともいう）を書け．

(4) $\dsize\int_{-\infty}^\infty \dfrac{1}{1+x^2}\;dx$ を求めよ．

\medskip
[2] 次のそれぞれの微分方程式を解け．解が本当にそれだけである
理由をきちんと説明すること．

(1) $x\neq0$ の範囲で $y'=-y/x$.

(2) $x\neq0, y\neq0$ の範囲で，$2xyy'=y^2-x^2$.

(3) $xy'=2y$.

(4) $y'-x^2 y +x^3-1=0$.

\medskip
[3] 微分方程式 $y'\sin x-y \cos x=0$ を考える．
初期値 $(x_0, y_0)$ を与えた時，その点を通るようなこの微分方程式の
解が存在しない $(x_0,y_0)$ をすべて求めよ．

\bye