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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{数理科学 II 中間テスト(1)}
\medskip
\rightline{2003年5月13日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

このテストは成績には関係ありません．自筆ノート持ち込み可で行います．
[1]については答えだけでけっこうですが，他の問題については計算，説明などを
きちんと書いてください．答案用紙は1枚両面です．それに収まるように
書いてください．

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[1] 以下の各問に答えよ．この問題については答えだけでよく，説明は
不要である．

(1) オイラーの公式 $e^{ix}=\cdots$ の右辺を書け．

(2) $\log (1+x)$ の $x=0$ におけるテイラー展開（マクローリン展開
ともいう）を書け．

(3) (2)のベキ級数の収束半径 $r$ を書け．($|x| < r$ ならばベキ級数が
収束するような最大の $r$ のことである．)

(4) $\dfrac{1}{(1+x^2)^2}$ の $x=0$ におけるテイラー展開
（マクローリン展開ともいう）を書け．

\medskip
[2] 次の行列 $A$ に対し，行列 $X$ をうまく選んで，
$X^{-1} AX$ が対角行列になるようにしたい．そのような $X$ を
一つ求めよ．計算の過程もきちんと示すこと．

$$A=\left(\matrix
12 & -6 \\
15 & -7 
\endmatrix\right)$$

\medskip
[3] 次のそれぞれの微分方程式を解け．解が本当にそれだけである
ことをきちんと示すこと．

(1) $y'=y^2$.

(2) $y'=1+y^2$.

(3) $x>0$ の範囲で，$(x^2+y^2)y'=2xy$.

\medskip
[4] $y'=y^{2/3}$ のすべての解を求めよ．ただし，
$y$ は実数全体で定義された $x$ の関数である．
解が本当にそれだけであることをきちんと示すこと．

\bye