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\centerline{\boxed{関数解析学（河東泰之）の講義内容}}

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毎週木曜10:00から12:00，129号室（理学部5号館），4月14日開講
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作用素環論のうち，V. F. R. Jonesによって創始されたsubfactorの理論
の解析的側面を扱う．去年は，subfactor理論の代数的・組合せ論的側面
に重点をおき，数理物理学や3次元トポロジーとの関連も説明したが，今
年は，関数解析的な分類理論について講義する．（今年の講義は，去年
の「関数解析学」とは独立であるが，去年の「関数解析学」の単位を取っ
た人は，今年の単位を取ることはできない．）

作用素環論においては，``amenability''と総称される一連の条件が多く
の異なった場面で現れ，様々な解析的分類定理を導いて来た．すなわち，
作用素環，その自己同型，その上の群作用，その部分環などがamenability
の条件下で，代数的な不変量によって完全に分類される，というタイプの
定理である．この種の定理は，70年代半ばのA. Connesのはなばなしい成
功に始まり，Jones, A. Ocneanuらの拡張によって，作用素環論の中心テ
ーマの一つになった．一方80年代前半，Jonesによって始められたsubfactor
理論は，3次元トポロジー，数理物理学，量子群などとの予想外の深い関
係によって，多くの注目を集めた．S. Popaは，80年代後半から，Connes
の流れをくむamenabilityに基づく分類定理をJonesの理論の枠組みで統一
的に扱う研究を始め，近年きわめて一般的な統一的分類定理に到達した．
彼の定理は，今までに知られていたConnesの流れによる多くの分類定理
をすべて系として含むものであり，現時点での最強の分類定理といえる．
これは，群作用の分類その他の古典的な問題にも多くの応用を持ち，また
3次元トポロジーや，共形場理論へも潜在的応用も期待されるものである．
このPopaの結果を基礎から紹介することがこの講義の目的であり，基本的
な文献は次の二つである．

S. Popa,
{\it Classification of amenable subfactors of type II},
to appear in Acta Math\.

S. Popa,
{\it Approximate innerness and central 
freeness for subfactors : A classification result}, preprint (1993).

講義の内容は以下のように予定している．

講義計画：

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(1) 作用素の強収束，弱収束と，von Neumannのdouble commutant theorem

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(2) II$_1$ factorの定義と例

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(3) traceとconditional expectation

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(4) Jones indexとPimsner-Popa basis

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(5) basic construction, Jones towerとtunnel

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(6) higher relative commutants, principal graphとcanonical commuting square

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(7) F\o lner条件とamenability

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(8) subfactorのapproximate innerness

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(9) subfactorのcentral freeness

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(10) Popaのlocal Rohlin technique

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(11) 分類定理の証明

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(12) 群作用との関連

このうち，(1)〜(3)は，準備なのでほぼ去年と同じ内容である．
その後，Jones indexとsubfator理論の基礎を（去年より解析的な方法で）
展開し，さらにPopaの方法に入る．

作用素環論の予備知識はまったく仮定しないが，関数解析学の
基礎知識（Hahn-Banachの定理など）は仮定する．成績は講義中に
出す問題に対するレポートでつける．

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