\magnification=\magstep1
\documentstyle{amsppt}

\nopagenumbers

\centerline{2002年度全学ゼミナール演習問題}
\medskip
\rightline{2002年5月1日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip
これらは自分で理解を深めるための問題です．別にレポートにするとか，
前で解くとかいったものではありません．

\bigskip
[1] 次の事を示せ．これらはいずれも授業中に「簡単にできる」と
言ったことである．

(1) 有限超実数 $\alpha$ に対し，
$$A=\{a\mid a\text{\ は実数で\ } a < \alpha\}$$
とおく．$a_0=\sup A$とすると，$\alpha$ は $a_0$に無限に近い．

(2) $\alpha,\beta$ が無限小超実数ならば $\alpha+\beta$ も
無限小超実数である．

(3) 超実数 $\alpha$ に対し，$\alpha$ が無限小であるための
必要十分条件は $|\alpha|$ が無限小であることである．

(4) $I$ を実数の区間，$f(x)$ を $I$ 上で定義された実数値関数と
する．$f(x)$ が $x=a\in I$ で連続であるための必要十分条件は，
任意の超実数 $\alpha \in {}^* I$ について
$\alpha$ が $a$ に無限に近ければ $f(\alpha)$ が $f(a)$ に
無限に近いことである．

(5) $a,b$ を $a < b$ であるような実数とし，
$I=[a,b]$ とする．$\alpha\in{}^*I$ を取って $\alpha$ の standard
part を $c$ とする．このとき，$c\in I$ である．

\medskip
[2] $(a_n)$ を実数列とする．$\dsize\lim_{n\to\infty} a_n =\infty$で
あるための必要十分条件は，すべての無限大超自然数 $\omega$ に
たいして $a_\omega$ が正の無限大超実数になることであること
示せ．

\medskip
[3] $\alpha$ を 0 でない超実数とする．
$|\alpha|$ が無限大であることの必要十分条件は
$1/\alpha$ が無限小である．この事を示せ．

\medskip
[4] $(a_n)$, $(b_n)$は実数列で，それぞれ実数$a,b$に収束するとする．
このとき，超準解析を使って以下のことを示せ．

(1) 実数列$(a_n b_n)$は$ab$に収束する．

(2) $a\neq0$とすると，十分大きい$n$について
実数列$(b_n/a_n)$を考えることができ，その収束先は$b/a$である．

\medskip
[5] 超自然数 $\alpha,\beta$ に対し最大公約数が存在することを
示せ．(超自然数に対し，約数の概念が定義され，
二つの超自然数に対しては，その共通の約数であるような超自然数たちの
中で最大のものが存在することを示せ，という意味である．)

\medskip
[6] $(a_n)$を実数の有界列とする．実数 $a$ について下の2条件が同値で
あることを示せ．

(1) ある無限大超自然数 $\omega$ に対し，$a_\omega$ が $a$ に
無限に近い．

(2) $(a_n)$ の部分列で $a$ に収束するものがある．

\medskip
[7] $\sin x$ の $x＝0$ における Taylor 展開を $n$ 次で切った多項式
を $f_n(x)$ とおく．($n$ は自然数である．) $\alpha$ を
有限超実数，$\omega$ を無限大超自然数としたとき，
$f_\omega(\alpha)$ が無限小であったとする．このとき，$\alpha$ の
standard part について何が言えるか．

\bye