\magnification=\magstep1 \documentstyle{amsppt} \nopagenumbers \centerline{2002年度全学ゼミナール演習問題} \medskip \rightline{2002年5月1日} \rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)} \rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)} \rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp} \rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}} \bigskip これらは自分で理解を深めるための問題です.別にレポートにするとか, 前で解くとかいったものではありません. \bigskip [1] 次の事を示せ.これらはいずれも授業中に「簡単にできる」と 言ったことである. (1) 有限超実数 $\alpha$ に対し, $$A=\{a\mid a\text{\ は実数で\ } a < \alpha\}$$ とおく.$a_0=\sup A$とすると,$\alpha$ は $a_0$に無限に近い. (2) $\alpha,\beta$ が無限小超実数ならば $\alpha+\beta$ も 無限小超実数である. (3) 超実数 $\alpha$ に対し,$\alpha$ が無限小であるための 必要十分条件は $|\alpha|$ が無限小であることである. (4) $I$ を実数の区間,$f(x)$ を $I$ 上で定義された実数値関数と する.$f(x)$ が $x=a\in I$ で連続であるための必要十分条件は, 任意の超実数 $\alpha \in {}^* I$ について $\alpha$ が $a$ に無限に近ければ $f(\alpha)$ が $f(a)$ に 無限に近いことである. (5) $a,b$ を $a < b$ であるような実数とし, $I=[a,b]$ とする.$\alpha\in{}^*I$ を取って $\alpha$ の standard part を $c$ とする.このとき,$c\in I$ である. \medskip [2] $(a_n)$ を実数列とする.$\dsize\lim_{n\to\infty} a_n =\infty$で あるための必要十分条件は,すべての無限大超自然数 $\omega$ に たいして $a_\omega$ が正の無限大超実数になることであること 示せ. \medskip [3] $\alpha$ を 0 でない超実数とする. $|\alpha|$ が無限大であることの必要十分条件は $1/\alpha$ が無限小である.この事を示せ. \medskip [4] $(a_n)$, $(b_n)$は実数列で,それぞれ実数$a,b$に収束するとする. このとき,超準解析を使って以下のことを示せ. (1) 実数列$(a_n b_n)$は$ab$に収束する. (2) $a\neq0$とすると,十分大きい$n$について 実数列$(b_n/a_n)$を考えることができ,その収束先は$b/a$である. \medskip [5] 超自然数 $\alpha,\beta$ に対し最大公約数が存在することを 示せ.(超自然数に対し,約数の概念が定義され, 二つの超自然数に対しては,その共通の約数であるような超自然数たちの 中で最大のものが存在することを示せ,という意味である.) \medskip [6] $(a_n)$を実数の有界列とする.実数 $a$ について下の2条件が同値で あることを示せ. (1) ある無限大超自然数 $\omega$ に対し,$a_\omega$ が $a$ に 無限に近い. (2) $(a_n)$ の部分列で $a$ に収束するものがある. \medskip [7] $\sin x$ の $x=0$ における Taylor 展開を $n$ 次で切った多項式 を $f_n(x)$ とおく.($n$ は自然数である.) $\alpha$ を 有限超実数,$\omega$ を無限大超自然数としたとき, $f_\omega(\alpha)$ が無限小であったとする.このとき,$\alpha$ の standard part について何が言えるか. \bye