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\def\R{{\bold R}}
\def\ep{{\varepsilon}}

\centerline{1996年度解析学IV期末テスト}
\rightline{1996年9月10日}
\rightline{河東泰之}

\bigskip
$$\boxed{\hbox{問題用紙は2枚あります}}$$
\bigskip

答案用紙は，[1]と，[2]以降を別の紙に
書いてください．最初の15分間はノートなど
$\boxed{\hbox{何も見ないで}}$やってください．
15分たったところで，
[1]の答案用紙だけを集めます．その後は
自筆ノート持ち込み可で行います．
（本，プリント，人のノートのコピーなどは不可です．）
そして，時間の最後に
[2]以降のほうの答案用紙を集めます．
時間は合計3時間です．
問題はたくさんありますが，1問20〜30点（あるいは
それ以上）でつける予定なので，適当に選択して解いてください．

\bigskip [1]
次の4つの定理のステートメントを書け．

(1) Beppo Leviの定理．（単調収束定理ともいう．）

(2) Fatouのlemma.

(3) Lebesgueの収束定理．

(4) Fubiniの定理．

\bigskip [2]
$(X, \Cal B, \mu)$を測度空間とし，
$f(x)$を$X$上の実数値可測可積分関数とする．
$E\in\Cal B$に，$\dsize\int_E f(x)\;d\mu$を対応させる
写像$\Phi$は，$\Cal B$上の加法的集合関数である
ことを示せ．

（これは授業で「明らか」と言った基礎的な事実である．
わざわざ証明を聞いているのだから，どのような
定理を用いてどのような条件を確認しているのか，詳しく説明すること．
安易に「明らかに」などと書いたものは大幅に減点する．）

\bigskip [3]
$(X, \Cal B, \mu)$を測度空間とし，$\{f_n(x)\}_{n=1,2,\dots}$を
$X$上の可測可積分関数の列で，以下の3条件を満たすものとする．

(1) すべての$n$について，$f_n(x)\ge 0\;\;\hbox{a.e.}$

(2) 定数$C$で，すべての$n$について，
$\dsize\int_X f_n(x)\;d\mu \le C$となるものが取れる．

(3) $X$上ほとんどいたるところ，$\{f_n(x)\}_n$は，$f(x)$に
収束する．

この時，$f(x)$も，$X$上可積分で$\dsize\int_X f(x)\;d\mu\le C$と
なることを示せ．

\bigskip [4]
$\R$の部分集合$A$に対し，$A$のLebesgue測度が0であることと，
次の条件は同値であることを示せ．

「可算個の区間$I_n=(a_n, b_n)$が次の3条件を満たすように
取れる．

(1) $A\subset \dsize\bigcup_{n=1}^\infty I_n$.

(2) $\dsize\sum_{n=1}^\infty \mu(I_n)<\infty$.

(3) 任意の$x\in A$は，$\{I_n\}_n$のうち無限個に属する．」

ただし，ここで$\mu(I_n)$は区間$I_n$のLebesgue測度，すなわち
$b_n-a_n$を表す．

\bigskip [5]
(1) $f(x)\in L^2(\R)$と$\ep > 0$が任意に与えられたとする．
この時，$\R$上の連続関数$g(x)$で，ある有界区間の外では
0となり，$\|f-g\|_2 < \ep$となるものが存在することを示せ．

(2) $f(x), g(x)\in L^2(\R)$としたとき，
$f*g$が定義できて，$\R$上の連続関数を定めることを示せ．

\bigskip [6] 各$n=1,2,3,\dots$について，
$[0,1]$上の正値連続関数$g_n(x)$が次の
2条件を満たしているとする．

(a) $x\notin [\dfrac{1}{n+1},\dfrac{1}{n}]$ならば，$g_n(x)=0$.

(b) $\dsize\int_0^1 g_n(x)\;dx=1$.

この時，$[0,1]\times[0,1]$上の関数$f(x,y)$を，
$$f(x,y)=\dsize\sum_{n=1}^\infty(g_n(x)-g_{n+1}(x))g_n(y)$$
と定める．この時，次の問いに答えよ．

(1) $\dsize\int_0^1 \left(\int_0 ^1 f(x,y)\;dx\right)dy$と，
$\dsize\int_0^1 \left(\int_0 ^1 f(x,y)\;dy\right)dx$を求めよ．

(2) この例ではFubiniの定理の仮定の何が成り立っていないのか，説明せよ．

\bigskip [7]
$f(x)$を$\R$上のLebesgue測度に関する正値可測可積分関数とする．
$\R$上の半開区間$I=(a,b]$に対し，$\nu(I)=\dsize\int_a^b f(x)\;dx$
と定め，さらに有限個の半開区間$I_k$, $(k=1,2,\dots,n)$のdisjoint
union $I$について，$\nu(I)=\dsize\sum_{k=1}^n \nu(I_k)$と定める．
（ただし，$I=(a,b]$で，$b=\infty$の時は，$I=(a,\infty)$と見なす．）
この$\nu$は，半開区間有限個のdisjoint union全体の上の
有限加法的測度になる．授業でやったようにこれを使って外測度
$\Gamma$を定義し，そこから$\Gamma$-可測集合や，
$\Gamma$-可測集合上の測度を定める．
この時，次のことを示せ．

(1) $\R$上のBorel集合は$\Gamma$-可測である．

(2) $\R$上のBorel集合$A$について，
$\Gamma(A)=\dsize\int_A f(x)\;dx$である．

ただし，$\R$上のBorel集合とは，$\R$上の開集合全体を含む
最小の完全加法族に属する集合のことである．

\bye