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\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}
\define\ep{{\varepsilon}}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 4の簡単な解説}
\medskip
\rightline{1996年5月14日}
\rightline{河東泰之}

今度は前回よりだいぶやさしくしたつもりです．

\bigskip[1] $n,k\in\N$に対し，
$(-n,n]\times\{0\}\subset (-n,n]\times(-1/k,1/k]$
なので$k\to\infty$として，$\mu((-n,n]\times\{0\})=0$.
$\R\times\{0\}=\bigcup_{n=1}^\infty (-n,n]\times\{0\}$
だから$\mu(\R)=0$.

\bigskip[2] 任意の$\ep>0$に対し，
$n\in\N$が存在して，$|x-y|<1/n$ならば，$|f(x)-f(y)|<\ep$である．
そこで，$k=1,2,\dots,n$に対し，$a_k\in\R$をうまく取ると，
$x\in((k-1)/n,k/n]$ならば，$f(x)\in (a_k,a_k+\ep]$となる
ようにできる．この時集合$A$は
$\bigcup_{k=1}^n ((k-1)/n,k/n]\times (a_k,a_k+\ep]$に
含まれるので，$\mu(A)\le \ep$となり，$\mu(A)=0$である．

\bigskip[3]
Cantor setの類似をやろうとした人がたくさんいて，そういうふうにも
できますが，もっとずっと簡単にできます．

例えば，$\R\times \Q^{n-1}$．または，
$\Q^n\cup \{(t,0,\dots,0)\mid 0\le t\le 1\}$．

\bigskip[4] 自然数$n$に対し，
$A_n=\{x\in X\mid f(x)<-1/n\}$とおけば，
$\mu(A_n)=0$で，
$\{x\in X\mid f(x)<0\}=\bigcup_{n=1}^\infty A_n$
だから，$f(x)\ge 0\;\;\hbox{a.e.}$である．

\bigskip
配点は各問25点です．
最高点100点（4人），平均点は42.2点でした．
\bye