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\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}
\define\ind{\text{ind}}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 2の簡単な解説}
\medskip
\rightline{1996年4月30日}
\rightline{河東泰之}

\bigskip [1]
答は，
$$\align
&\{\varnothing, X\},\\
&\{\varnothing, \{a\}, \{b, c\}, X\},\\
&\{\varnothing, \{b\}, \{a, c\}, X\},\\
&\{\varnothing, \{c\}, \{a, b\}, X\},\\
&\{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\},
\{b, c\}, \{a, c\}, X\},\\
\endalign$$
の5つ．（答案ではもっとちゃんと説明して下さい．）

\bigskip [2]
$1/n$は正だから，無限個のものをどのような順序で足しても結果は
同じである．したがって，$m$は有限加法的であり，また完全加法的
である．（もっと，長い問題中でこういうのが出てくれば，「明らかに
完全加法的」でも，まあいいんですがここではわざわざ理由を
聞いてるんですから，何かちゃんと書いてもらわないと減点です．）

\bigskip [3]
(1)は簡単．また，$m(A)$は$A$に含まれている整数の個数
（無限大も含む）を数えているので，明らかに有限加法的であり，
また完全加法的である．（この問題は，授業でやったことからは
ただちには従いません．）

\bigskip [4]
(1) 有理数$p$に対し，$\{p\}$はいくらでも小さい区間で
覆えるので，$\mu^*(\{p\})=0$．有理数全体は
可算集合だから，$\Q=\{p_n\mid n\in \N\}$と書いて，
$\mu^*(\Q)\le \dsize\sum_{n=1}^\infty \mu^*(\{p_n\})=0$より，
$\mu^*(\Q)=0$．

(2) $\mu^*([0,1])=1$はすぐわかる．また，(1)と同様にして，
$\mu^*(\Q\cap [0,1])=0$なので，
劣加法性より，
$$\mu^*([0,1])\le \mu^*(\Q\cap [0,1])+
\mu^*((\R\setminus \Q)\cap [0,1])=
\mu^*((\R\setminus \Q)\cap [0,1])\le\mu^*([0,1])$$
となることを用いて，$\mu^*((\R\setminus \Q)\cap [0,1])=1$を得る．

これは，いきなりノーヒントでは難しかったかもしれません．
特に(1)で，授業で説明した「確率1/2でランダムに分けた集合」
の例と混同した人が多かったんですが，有理数は無理数より
ずっと「少ない」ので，この場合は状況が全然違います．

\bigskip
配点は1番から順に，30, 20, 20, 30点です．
平均点は42.6点でした．
\bye