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\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}
\define\C{\bold C}
\define\ep{\varepsilon}
\def\limsup{\mathop{\overline{\hbox{lim}}}}
\def\liminf{\mathop{\underline{\hbox{lim}}}}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 11}
\medskip
\rightline{6/25/1996}
\rightline{河東泰之}

\bigskip
自分のノートを参照してよい．（本などは見ないこと．）

\bigskip [1]
$f(x)$が$\R$上Lebesgue可積分であるとする．
この時，
$\hat f(\xi)=\dsize\int_{\R} e^{-ix\xi}f(x)\;d\mu$は
$\xi$の連続関数であることを示せ．

\bigskip [2]
$(X, \Cal B, \mu)$を測度空間とし，
$\mu(X)=1$と仮定し，
$f(x)$をその上の可測関数とする．
$\dsize\sup_{p > 0} \int_X |f(x)|^p\;d\mu < \infty$としたとき，
$\dsize\lim_{p\to\infty}\int_X |f(x)|^p\;d\mu=
\mu(E(|f|=1))$であることを示せ．

\bigskip [3]
$f(x)$が$\R$上Lebesgue可積分であるとする．
$g(x)=\dsize\int_{x-1}^{x+1} f(t)\;dt$としたとき，
$g(x)$は連続関数であることを示せ．

\bigskip
解答は別紙に書いて下さい．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．
\bye