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\define\ep{{\varepsilon}}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 8の簡単な解説}
\medskip
\rightline{1996年6月11日}
\rightline{河東泰之}

\bigskip
[1] 例えば，次のように取る．
$$f_n(x)=\cases \frac{2^{2n+3}}{n}
\left(x-\frac{1}{2^{n+1}}\right),
&\frac{1}{2^{n+1}}\le x \le \frac{3}{2^{n+2}}\hbox{の時，}\\
-\frac{2^{2n+3}}{n}
\left(x-\frac{1}{2^{n}}\right),
&\frac{3}{2^{n+2}}\le x \le \frac{1}{2^{n}}\hbox{の時，}\\
0,&\hbox{その他の時．}\endcases$$

\bigskip [2] Beppo Leviの定理（のcorollary）に
よって，
$$\int_\R |f(x)|\;dx=\lim_{n\to\infty} \int_{-n}^n |f(x)|\;dx
\le C$$
だから，可積分になる．

\bigskip [3] $f_n(x)\ge 0\;\hbox{a.e.}$でないのに
Fatouのlemmaを使っているのがおかしい．

\bigskip
[4] $f(x)$の虚部$\hbox{Im}\; f(x)$がほとんどいたるところ
0であることを示す．もしそうでなければ，
$A_1=E(\hbox{Im}\; f > 0)$,
$A_2=E(\hbox{Im}\; f < 0)$とおいた時，$\mu(A_1) > 0$か
または$\mu(A_2) > 0$である．仮定より，
$\dsize\int_{A_1} \hbox{Im}\; f(x)\;d\mu=0$,
$\dsize\int_{A_2} \hbox{Im}\; f(x)\;d\mu=0$だから，
これは前回の[4]に反し，矛盾．

\bigskip
配点は1番から順に，30, 20, 20, 30点です．
最高点は100点（4人），平均点は50.0点でした．
\bye