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\centerline{解析学IV 小テストNo\. 5の簡単な解説}
\medskip
\rightline{1996年5月21日}
\rightline{河東泰之}

\bigskip[1] $A_n=\{x\in X\mid f_n(x)<0\}$とおけば，
$\mu(A_n)=0$なので，$A=\bigcup_{n=1}^\infty A_n$と
おいて$\mu(A)=0$を得る．

\bigskip[2] 
まず，$n\in\N$に対し，
$A_n=\{(x,y)\mid -n\le x\le n, 0\le y\le f(x)\}$とおく．
そして，$\mu(A)=\dsize\int_{-n}^n f(x)\;dx$であることを
まず示す．（例えば，$[-n,n]$を区間に分割し，各区間で
sup, infを考えることにより，$A_n$を上下からはさんだ後，
区間の幅を0に近づける．何も書かずに「明らか」などとしたのは
減点です．）そして，$A=\bigcup_{n=1}^\infty A_n$であることを
用いて$n\to\infty$とすればよい．

\bigskip[3] 
いろいろなやり方がありますが，一つだけあげます．

$(0,1)$内の有理数に番号を付け，$\{p_n\}_n$とする．
$\delta>0$に対し，
$$U_\delta=[0,1]\cap\bigcup_{n=1}^\infty (p_n-\delta/2^n,
p_n+\delta/2^n)$$
とおけば，これは$[0,1]$の稠密な開集合で，
$\mu(U_\delta)\le 2\delta$である．$\mu(U_\delta)$は$\delta$の
連続関数であることが示せて，また$\delta\to 0$の時，
$\mu(U_\delta)\to0$であり，十分大きい$\delta$について
$\mu(U_\delta)=1$だから，どこかで$\mu(U_\delta)\ep$となる
$\delta$が存在する．

\bigskip
配点は1番から順に，30, 40, 30点です．
最高点は85点，平均点は37.1点でした．
\bye