\magnification=\magstep1 \documentstyle{amsppt} \baselineskip 14pt \nopagenumbers \define\R{\bold R} \define\Q{\bold Q} \define\Z{\bold Z} \define\N{\bold N} \define\ep{{\varepsilon}} \centerline{解析学IV 小テストNo\. 5の簡単な解説} \medskip \rightline{1996年5月21日} \rightline{河東泰之} \bigskip[1] $A_n=\{x\in X\mid f_n(x)<0\}$とおけば, $\mu(A_n)=0$なので,$A=\bigcup_{n=1}^\infty A_n$と おいて$\mu(A)=0$を得る. \bigskip[2] まず,$n\in\N$に対し, $A_n=\{(x,y)\mid -n\le x\le n, 0\le y\le f(x)\}$とおく. そして,$\mu(A)=\dsize\int_{-n}^n f(x)\;dx$であることを まず示す.(例えば,$[-n,n]$を区間に分割し,各区間で sup, infを考えることにより,$A_n$を上下からはさんだ後, 区間の幅を0に近づける.何も書かずに「明らか」などとしたのは 減点です.)そして,$A=\bigcup_{n=1}^\infty A_n$であることを 用いて$n\to\infty$とすればよい. \bigskip[3] いろいろなやり方がありますが,一つだけあげます. $(0,1)$内の有理数に番号を付け,$\{p_n\}_n$とする. $\delta>0$に対し, $$U_\delta=[0,1]\cap\bigcup_{n=1}^\infty (p_n-\delta/2^n, p_n+\delta/2^n)$$ とおけば,これは$[0,1]$の稠密な開集合で, $\mu(U_\delta)\le 2\delta$である.$\mu(U_\delta)$は$\delta$の 連続関数であることが示せて,また$\delta\to 0$の時, $\mu(U_\delta)\to0$であり,十分大きい$\delta$について $\mu(U_\delta)=1$だから,どこかで$\mu(U_\delta)\ep$となる $\delta$が存在する. \bigskip 配点は1番から順に,30, 40, 30点です. 最高点は85点,平均点は37.1点でした. \bye