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\baselineskip 14pt
\nopagenumbers

\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}
\define\ep{\varepsilon}
\def\limsup{\mathop{\overline{\hbox{lim}}}}
\def\liminf{\mathop{\underline{\hbox{lim}}}}

\centerline{解析学IV 小テストNo\. 6}
\medskip
\rightline{1996年5月21日}
\rightline{河東泰之}

\bigskip
自分のノートを参照してよい．（本などは見ないこと．）
[1], [3]でいう$\R$上の可測関数とは，$\R$上のLebesgue
可測集合に関するものである．

\bigskip [1] $\R$から$\R$への可測関数$f(x)$で，すべての
点で不連続であるものの例を一つあげよ．

\bigskip [2] $(X, \Cal B, \mu)$を測度空間とする．
$f(x)$を$X$上の複素数値可測関数とする．この時，
$f(x)=|f(x)| h(x)$, $|h(x)|=1$となる可測関数$h(x)$が
存在することを示せ．

\bigskip [3]
$f(x)$を$\R$上の実数値可測関数とする．$g(x)$も
$\R$上の実数値関数で，$f(x)=g(x)\;\;\hbox{a.e.}$であるとき，
$g(x)$も可測関数であることを示せ．

\bigskip [4]
次の2条件を同時に満たす$\R$上の完全加法族$\Cal B$の例を一つあげよ．

(1) ${\Cal B}$は無限集合．

(2) $\R$上の実数値関数$f(x)$が$\Cal B$について可測であれば，
$f(x)$の値域はたかだか可算．

\bigskip
[1], [4]はきちんと説明をつけること．

解答は別紙に書いて下さい．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．
\bye