\magnification=\magstep1 \documentstyle{amsppt} \baselineskip 14pt \nopagenumbers \define\R{\bold R} \define\Q{\bold Q} \define\Z{\bold Z} \define\N{\bold N} \define\ep{\varepsilon} \def\limsup{\mathop{\overline{\hbox{lim}}}} \def\liminf{\mathop{\underline{\hbox{lim}}}} \centerline{解析学IV 小テストNo\. 6} \medskip \rightline{1996年5月21日} \rightline{河東泰之} \bigskip 自分のノートを参照してよい.(本などは見ないこと.) [1], [3]でいう$\R$上の可測関数とは,$\R$上のLebesgue 可測集合に関するものである. \bigskip [1] $\R$から$\R$への可測関数$f(x)$で,すべての 点で不連続であるものの例を一つあげよ. \bigskip [2] $(X, \Cal B, \mu)$を測度空間とする. $f(x)$を$X$上の複素数値可測関数とする.この時, $f(x)=|f(x)| h(x)$, $|h(x)|=1$となる可測関数$h(x)$が 存在することを示せ. \bigskip [3] $f(x)$を$\R$上の実数値可測関数とする.$g(x)$も $\R$上の実数値関数で,$f(x)=g(x)\;\;\hbox{a.e.}$であるとき, $g(x)$も可測関数であることを示せ. \bigskip [4] 次の2条件を同時に満たす$\R$上の完全加法族$\Cal B$の例を一つあげよ. (1) ${\Cal B}$は無限集合. (2) $\R$上の実数値関数$f(x)$が$\Cal B$について可測であれば, $f(x)$の値域はたかだか可算. \bigskip [1], [4]はきちんと説明をつけること. 解答は別紙に書いて下さい.解答用紙の裏面を使用してもけっこうです. \bye