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\centerline{解析学IV 小テストNo\. 1}
\medskip
\rightline{1996年4月16日}
\rightline{河東泰之}

\bigskip
自分のノートを参照してよい．（ただし，本は見ないこと．）

\bigskip [1] 次の条件すべてを満たすような，$[0,1]$上の実数値
連続関数の列$\{f_n(x)\}_n$の例を一つあげよ．（その列が本当に
下記の条件を満たしていることをきちんと説明すること．）

(1) $f_n(x)\ge 0$, $x\in [0,1]$.

(2) すべての$x\in[0,1]$について，$\dsize\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$.

(3) $\dsize\lim_{n\to\infty} \int_0^1 f_n(x)\;dx=\infty$.

\bigskip [2] $f(x)$を有界閉区間$[a,b]$上の実数値連続関数とする．

(1) Riemann積分$\dsize\int_a^b f(x)\;dx$の定義を述べよ．

(2) 上の定義は，極限を含んでいるが，その極限値の存在を証明せよ．

\bigskip [3] 有界閉区間$[a,b]$上の実数値連続関数全体を$X$とおき，
$f,g\in X$に対し，$d(f,g)=\dsize\sup_{x\in[a,b]} |f (x)-g(x)|$と
おく．

(1) $d$は$X$上の距離を定めることを示せ．

(2) $X$は距離$d$について完備であることを示せ．

\bigskip
解答は別紙に書いて下さい．解答用紙の裏面を使用してもけっこうです．
[2], [3]は事実自体はよく知られたことですから，「授業で習った
定理から明らか」などとしないで，きちんと証明を書いてください．

\bye