\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\pagestyle{empty}
\textwidth 15.3cm
\oddsidemargin 0in
\evensidemargin 0in
\textheight 22.3cm
\topmargin 0in
\headsep 0in
\renewcommand{\topfraction}{0.95}
\renewcommand{\bottomfraction}{0.95}
\renewcommand{\textfraction}{0.05}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}

\begin{document}
\centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(5)}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

\bigskip
[1] $f$ を測度空間 $(X,{\mathcal B},\mu)$ 上の可測関数で，
$[0,\infty)\cup\{\infty\}$ に値を持つものとし，さらに
可積分であるとする．

(1) 実数 $c$ に対し $X_c=\{x\in X\mid f(x) > c\}$ とおく．
$\displaystyle\lim_{c\to\infty}\int_{X_c} f\;d\mu=0$ を
示せ．

(2) 任意の $\varepsilon >0$ に対し，$\delta >0$ が存在して，
$E\in{\mathcal B}$, $\mu(E) < \delta$ ならば
$\displaystyle\int_E f\;d\mu < \varepsilon$ となることを示せ．

\bigskip
[2] $\mathbb R$ 上で Lebesgue 測度を考える．次の条件すべてを満たす
Lebesgue 可測関数列 $\{f_k\}_k$ の例を挙げよ．条件を満たしていることを
きちんと説明すること．

(1) すべての $k$ について $0\le f_k(x)<\infty$.

(2) どの $x\in{\mathbb R}$ についても $\displaystyle
\lim_{k\to\infty} f_k(x)$ は存在しない．

(3) $\displaystyle\liminf_{k\to\infty}\int_{\mathbb R} f_k\;dx
> \int_{\mathbb R} (\liminf_{k\to\infty} f_k(x))\;dx$.

\bigskip
[3] $\mathbb R$ 上で Lebesgue 測度を考える．次の条件すべてを満たす
Lebesgue 可測関数列 $\{f_k\}_k$ の例を挙げよ．条件を満たしていることを
きちんと説明すること．

(1) すべての $k$ について $0\le f_k(x)<\infty$.

(2) $\displaystyle\lim_{k\to\infty} f_k(x)=0$.

(3) $\displaystyle\lim_{k\to\infty}\int_{\mathbb R} f_k\;dx=0$.

(4) $g(x)=\sup_k f_k(x)$ とおくと
$\displaystyle\int_{\mathbb R}g\;d\mu=\infty$.

\bigskip
[4] $f_k(x), f(x)$, $(k=1,2,\dots)$, は，
測度空間$(X, {\mathcal B}, \mu)$上の可測関数で，$X$上
$0\le f_k(x)\le f(x)\le \infty$を満たすものとする．
このとき，すべての$x\in X$に対し，
$\displaystyle\lim_{k\to\infty} f_k(x)=f(x)$であれば
$$\lim_{k\to\infty}\int_X f_k\;d\mu=\int_X f\;d\mu$$
であることを示せ．

\end{document}