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\begin{document}
\centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(4)解答解説}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は各問20点です.
平均点は67点,最高点は100点(7人)でした.

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[1] いくらでもありますが,たとえば $g(x)=\max(1-|x|,0)$ とおいて,
$f(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x^2}+\sum_{k=1}^\infty k g(k^3(x-k))$ とおけばできます.

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[2] $E_1=\{x\in{\mathbb R}\mid 0\le f(x) < 1\}$, 
$E_2=\{x\in{\mathbb R}\mid f(x) = 1\}$, 
$E_3=\{x\in{\mathbb R}\mid f(x) > 1\}$ とおきます.
$n\to\infty$ のとき,Lebesgue の収束定理により,
$\displaystyle\int_{E_1} f(x)^n\; dx\to 0$
となり,また
$\displaystyle\int_{E_2} f(x)^n\; dx\to \mu(E_2)<\infty$ であり,
単調収束定理により
$\displaystyle\int_{E_3} f(x)^n\; dx\to \infty\times\mu(E_3)$
となります.よって求める必要十分条件は $f(x)\le1$ a.e. であり,
答えは $\mu(E_2)$ です.

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[3] $\varepsilon\chi_{E_\varepsilon}(x) \le |f(x)|$ であることと,
$\varepsilon\to0+$ のとき,$\varepsilon\chi_{E_\varepsilon}(x)\to 0$ 
であることから,Lebesgue の収束定理が使えて
$$\int_X \varepsilon\chi_{E_\varepsilon}(x)\;d\mu=
\varepsilon\mu(E_\varepsilon)\to 0$$
を得ます.

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[4] $x>0$ のとき $\left(\displaystyle 1+\frac{x}{n}\right)^n$ は
単調増大で $e^x$ に収束します.よって $(0,\infty)$ 上で
$\chi_{(0,n)}(x)\left(\displaystyle 1+\frac{x}{n}\right)^n e^{-2x}$
は単調増大で $e^{-x}$ に収束します.したがって答えは
$\displaystyle\int_0^\infty e^{-x}\;dx=1$ です.

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[5] (1)普通に積分して
$\displaystyle \frac{1}{2m-1}-\frac{1}{2m}$ です.

(2) まずこれは交代級数で $\displaystyle \frac{1}{n}$ は単調減少で
$0$ に収束するので和は収束します.さらにこの和は
$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right)$ に
等しくなります.(1)よりこれは
$$ \sum_{n=1}^\infty\int_0^\infty(e^{-(2n-1)x}-e^{-2nx})\;dx$$ に
等しく,これは単調収束定理より
$$\int_0^\infty\sum_{n=1}^\infty(e^{-(2n-1)x}-e^{-2nx})\;dx$$ に
等しくなります.この積分の中の無限和は普通に和が取れて,
$\displaystyle\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$ となります.よって上記の積分は
$$\int_0^\infty \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\;dx
=[-\log(1+e^{-x})]_0^\infty=\log 2$$ となります.

\end{document}