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\begin{document}
\centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(4)}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

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[1] $\mathbb R$ 上の連続可積分関数 $f(x)$ で，常に $f(x)>0$ で
$\displaystyle \limsup_{x\to\infty} f(x)=\infty$ となるものの例を挙げよ．

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[2] $f(x)$を$\mathbb R$上の Lebesgue可測可積分関数とし，
常に $f(x)\ge0$ とする．
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \int_{-\infty}^\infty
f(x)^n\;dx$が存在して有限値となるための必要十分条件を求めよ．
さらにそのときの，この極限値を求めよ．

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[3] $(X, {\mathcal B}, \mu)$を測度空間，$f(x)$をその
上の実数値可測可積分関数とする．任意の$\varepsilon > 0$に対して，
$E_\varepsilon=E(|f| > \varepsilon)$とおく．この時，
$\displaystyle\lim_{\varepsilon\to 0+}\varepsilon
\mu(E_\varepsilon)=0$であることを示せ．

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[4] $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_0^n \left(1+\frac{x}{n}\right)^n
e^{-2x}\;dx$ を求めよ．

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[5] (1) $\displaystyle \int_0^\infty \left(e^{-(2m-1)x}-e^{-2mx}\right)\;dx$
を求めよ．($m=1,2,\dots$ である．)

(2) $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ を求めよ．

\end{document}