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\begin{document}
\centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(3)解答解説}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は各問25点です．
平均点は45点，最高点は100点(1人)でした．

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[1] まず，測度$0$ の集合上で値を変えても答えに影響しないので，
$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty 
\frac{1}{k(k+1)}\chi_{(k,k+1]}(x)$ を考えても同じです．このとき，
$\displaystyle\sum_{k=1}^m
\frac{1}{k(k+1)}\chi_{(k,k+1]}(x)$ が $m\to\infty$ としたとき，
元の関数に単調増大で収束する単関数の列なので，この積分を
考えて $\displaystyle\sum_{k=1}^m \frac{1}{k(k+1)}=\frac{m}{m+1}$
となり，ここで $m\to\infty$ として答えは $1$ です．

\bigskip
[2] まず
$$f_{11}(x)=\frac{1}{2^2}\chi_{(1,2]}(x), 
f_{12}(x)=\frac{1}{3^2}\chi_{(2,3]}(x),
f_{13}(x)=\frac{1}{4^2}\chi_{(3,4]}(x),\dots$$
とおき，次に
$$f_{21}(x)=\left(\frac{2^2}{3^2}-\frac{1}{2^2}\right)\chi_{(1,3/2]}(x), 
f_{22}(x)=\left(\frac{2^2}{5^2}-\frac{1}{3^2}\right)\chi_{(2,5/2]}(x),
f_{23}(x)=\left(\frac{2^2}{7^2}-\frac{1}{4^2}\right)\chi_{(3,7/2]}(x),\dots$$
とおきます．さらに
$$f_{31}(x)=\left(\frac{4^2}{5^2}-\frac{2^2}{3^2}\right)\chi_{(1,5/4]}(x), 
f_{32}(x)=\left(\frac{4^2}{7^2}-\frac{1}{2^2}\right)\chi_{(3/2,7/4]}(x),
f_{33}(x)=\left(\frac{4^2}{9^2}-\frac{2^2}{5^2}\right)\chi_{(2,9/4]}(x),\dots$$
に続けて
$$f_{41}(x)=\left(\frac{8^2}{9^2}-\frac{4^2}{5^2}\right)\chi_{(1,9/8]}(x), 
f_{42}(x)=\left(\frac{8^2}{11^2}-\frac{2^2}{3^2}\right)\chi_{(5/4,11/8]}(x),
f_{43}(x)=\left(\frac{8^2}{13^2}-\frac{4^2}{7^2}\right)\chi_{(3/2,13/8]}(x),\dots$$
とし，以下同様に続けます．

$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\sum_{m=1}^\infty f_{km}(x)$
は単関数の和で，$(1,\infty)$ 上で $\displaystyle\frac{1}{x^2}$ に
等しくなります．よって求める積分は，これらの単関数の
積分の和で求められます．和を取る順序を変えて
$$f_{11}(x)+f_{21}(x)+f_{31}(x)+f_{32}(x)
+f_{41}(x)+f_{42}(x)+f_{43}(x)+f_{44}(x)+\cdots$$
とすると，これらの積分の和は授業でやったことにより
Riemann 積分 $\displaystyle\int_1^2\frac{1}{x^2}\;dx=\frac{1}{2}$
となります．同様に区間 $(n,n+1]$ 内で関数 $f_{km}(x)$ を足す
ことにより，Riemann 積分
$\displaystyle\int_n^{n+1}\frac{1}{x^2}\;dx=\frac{1}{n(n+1)}$
を得るので，すべての $n$ について和を取ることによって
答えは $1$ となります．

(5/9 の授業でやった単調収束定理を使えば議論がもっと簡単になります．)

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[3] たとえば $f(x)=\displaystyle 
\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}\chi_{(k-1,k]}(x)$ と
おけば，交代級数 $\displaystyle 
\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}$ が収束することと，
$c\in(k-1,k]$ のとき
$\displaystyle\int_0^c f(x)\;dx$ は
$\displaystyle\int_0^{k-1} f(x)\;dx$ と
$\displaystyle\int_0^k f(x)\;dx$ の間に等号付きで挟まれている
ことから，
$\displaystyle\lim_{c\to\infty}\int_0^c f(x)\;dx$ が有限実数値
として存在することが分かります．一方，
$f_+(x)=\displaystyle 
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2k-1}\chi_{(2k-2,2k-1]}(x)$
であることからこの積分は [1] のように考えて
$\displaystyle 
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2k-1}=\infty$ となるので
$f(x)$ は Lebesgue 可積分ではありません．

$f(x)=\displaystyle\frac{\sin x}{x}$ などとしても同様です．

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[4] $\mathbb R$ の測度は無限大なので授業でやった論法は
そのままでは使えません．

自然数 $m$ について $[-m,m]$ 上で関数列$f_1(x), f_2(x),\dots$
を考え，授業でやったようにして正の数列
$c_{m1}, c_{m2},\dots$ を，$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty
c_{mk}f_k(x)$ が $[-m,m]$ 上ほとんどいたるところ収束するように
取ります．次に $c_k=\min(c_{1k}, c_{2k},\dots,c_{kk})$ とおくと，
これは正の数列で，各 $[-m,m]$ 上では 
$\displaystyle\sum_{k=m}^\infty
c_{mk}f_k(x)$ がほとんどいたるところ収束していることから，
$\displaystyle\sum_{k=m}^\infty
c_{k}f_k(x)$ がほとんどいたるところ収束します．よって
$\mathbb R$ 上で $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty
c_{k}f_k(x)$ がほとんどいたるところ収束します．

\end{document}