\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\pagestyle{empty}
\textwidth 15.3cm
\oddsidemargin 0in
\evensidemargin 0in
\textheight 22.3cm
\topmargin 0in
\headsep 0in
\renewcommand{\topfraction}{0.95}
\renewcommand{\bottomfraction}{0.95}
\renewcommand{\textfraction}{0.05}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}

\begin{document}
\centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(2)解答解説}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は[1] 20点, [2] 20点, [3] 30点，[4] 30点です．
平均点は68点，最高点は100点(14人)でした．

\bigskip
[1] 例はたくさんありますが，たとえば $E_{2k}=[0,1]$, 
$E_{2k+1}=\varnothing$ とおけばできます．

\bigskip
[2] 任意の自然数 $m,n$ について
$\bigcap_{k=m}^\infty E_k \subset \bigcup_{k=n}^\infty E_k$ なので，
$$\liminf_{k\to\infty}E_k=\bigcup_{m=1}^\infty\bigcap_{k=m}^\infty E_k
\subset \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty E_k=
\limsup_{k\to\infty} E_k$$
が成り立ちます

\bigskip
[3] $[0,1]\times[0,1]$ から$1/3$ずつ抜いていくことにより，授業中の
Cantor 集合の測度の計算と同様にして，$\mu(E\times[0,1])=0$ がわかります．
同様に$\mu(E\times[k,k+1])=0$ となるので $k$ について和を取って，
$\mu(E\times{\mathbb R})=0$ を得ます．

\bigskip
[4] $U$内の，$x,y$ 座標がともに有理数の点に番号をつけて
$p_1=(x_1,y_1),p_2=(x_2,y_2),\dots$ とします．
$\mu(U)<\infty$ なので，$0<\varepsilon<\sqrt{3\mu(U)}/2$ となる
$\varepsilon$ を任意にとります．このとき
$U_k=((x_k-\varepsilon/2^k,x_k+\varepsilon/2^k)\times
(y_k-\varepsilon/2^k,y_k+\varepsilon/2^k))\cap U$ とおいて
$E=\bigcup_{k=1}^\infty U_k$ とおくと，これは $U$ の稠密な開部分集合で，
$\mu(E)\le 4\varepsilon^2/3$ です．さらに正の実数 $r$ に対し，
$E_r=(E\cup(-r,r)\times(-r,r))\cap U$ とおくと，これは
$U$ の稠密な開集合で，$r$ を正の実数の範囲で動かしたとき，
$E_r$ の Lebesgue 測度の取る値は区間 $(4\varepsilon^2/3,\mu(U)]$
全体を覆います．$\varepsilon$ はいくらでも小さく取れる一方，
測度の値は$0$を取らないので，答えは $(0,\mu(U)]$ です．

\end{document}