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\begin{document}
\centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(2)}
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\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください.

このテストは,ノート持ち込み可で行います.
電子機器の使用は不可です.

途中の計算,説明などをきちんと書いてください.
答案用紙は1枚両面です.それに収まるように書いてください.

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[1] $\mathbb R$ の部分集合の列 $\{E_k\}_k$ で,
$\limsup_{k\to\infty} E_k=[0,1]$, $\liminf_{k\to\infty} E_k=\varnothing$
となるものの例を挙げよ.

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[2] $X$ の部分集合の列 $\{E_k\}_k$ について常に
$ \liminf_{k\to\infty} E_k\subset \limsup_{k\to\infty} E_k$
となるというのは正しいか.理由をつけて答えよ.

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[3] Cantor 集合 $E$ について $\mu(E\times{\mathbb R})$ を求めよ.
ただし $\mu$ は ${\mathbb R}^2$ 上の Lebesgue 測度である.

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[4] $U\subset{\mathbb R}^2$ を空でない有界開集合とする.
$E$ が $U$ の稠密な開部分集合全体を動くとき,$\mu(E)$ の取りうる値を
決定せよ.

\end{document}