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\begin{document}
\centerline{2016年解析学IV追試}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

\centerline{\bf 問題用紙は2枚あります．}

\bigskip
解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙に収まるように書いてください．


\bigskip
[1] [1] 次のすべての条件を満たす $\mathbb R$ 上の連続関数の
列の例を挙げよ．

(1) $0\le f_k(x)\le 1$.

(2) すべての $x$ について $\displaystyle\lim_{k\to\infty} f_k(x)=0$.

(3) $\displaystyle \lim_{k\to\infty}\int_{\mathbb R} f_k(x)\;dx=0$.

(4) すべての $k$ について $\displaystyle \sup_{m\ge k}f_m(x)$ は
可積分ではない．

\bigskip
[2] $[0,1]$ 上の Lebesgue 可測関数列 $\{f_k(x)\}_k$ が，すべての
$k=1,2,3,\dots$ に対して $[0,1]$ 上 $f_k(x)\ge 0$ a.e. を満たして
いるとする．次のすべての条件を満たす $[0,1]$ の Lebesgue 可測
部分集合の列 $\{E_k\}_k$ と正の実数の列 $\{c_k\}_k$ が存在する
ことを示せ．ただし $\mu$ は Lebesgue 測度を表す．

(1) $\mu(E_k)>1-1/2^k$.

(2) $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty c_k\int_{E_k} f_k\;d\mu<\infty$.

\bigskip
[3] $f\in C_0^\infty({\mathbb R})$ とする．$z\in{\mathbb C}\setminus
{\mathbb R}$ に対して定義された関数
$$F(z)=\int_{-\infty}^\infty f(t)\frac{1}{t-z}\;dt$$
は，$z$ の正則関数であることを示せ．

\bigskip
[4] $f(x)$ を $\mathbb R$ 上の複素数値有界連続関数とする．
$$\lim_{k\to\infty}k \int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-k^2x^2}\;dx$$
を求めよ．

\vfill\eject

\bigskip
[5] $x\in{\mathbb R}$ に対し，$f(x)=e^{-x^2}$ とおく．
$f*f*f(x)$ を求めよ．

\bigskip
[6] 次のすべての条件を満たす $\mathbb R$ 上の関数 $f(x)$ の例を挙げよ．

(1) $f(x)$ は連続である．

(2) すべての $x\in\mathbb R$ に対し $0\le f(x) < \infty$.

(3) すべての $p\in[1,\infty)$ に対し $f\in L^p(\mathbb R)$.

(4) $f\notin L^\infty(\mathbb R)$.

\end{document}