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\begin{document}
\centerline{2016年解析学IV期末テスト}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください.

このテストは,自筆ノート持ち込み可で行います.
電子機器の使用は不可です.

途中の計算,説明などをきちんと書いてください.
答案用紙に収まるように書いてください.



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[1] 次のすべての条件を満たす $\mathbb R$ 上の Lebesgue 可測関数の
列の例を挙げよ.

(1) $0\le f_k(x)\le 1$.

(2) すべての $x$ について $\displaystyle\lim_{k\to\infty} f_k(x)=0$.

(3) $\displaystyle \lim_{k\to\infty}\int_{\mathbb R} f_k(x)\;dx=0$.

(4) すべての $k$ について $\displaystyle \sup_{m\ge k}f_m(x)$ は
可積分ではない.

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[2] (1) $0< c< 1/2$ とする.数列 $1,c,c^2,c^3,\dots$ の
部分無限数列の和に書ける実数の全体の集合を $E$ とする.
$E$ の Lebesgue 測度は $0$ であることを示せ.

(2) $c=1/2$ とする.数列 $1,c,c^2,c^3,\dots$ の
部分無限数列の和に書ける実数の全体の集合を $E$ とする.
$E$ の Lebesgue 測度を求めよ.

\bigskip
[3] $f(x)$ を $\mathbb R$ 上で定義された Lebesgue 可測関数
で常に $0\le f(x)<\infty$ となるものとする.
$\displaystyle\lim_{k\to\infty}\int_{\mathbb R}
\frac{kf(x)}{kf(x)+1}\;dx$ が存在して有限値となるための
必要十分条件を求めよ.

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[4] 正の実数 $t$ に対して,
$f(t)=\displaystyle\int_0^\infty
e^{-tx} \frac{x-\sin x}{x^3}\;dx$ とおく.
この範囲で $f(t)$ は $t$ の$C^\infty$級関数
となることを示せ.

\bigskip
[5] $E$ を $\mathbb R$ の Lebesgue 可測集合で,$\mu(E)<\infty$
となるものとし,$t$ を実数とする.($\mu$ は Lebesgue 測度を表す.)
$f(t)=\displaystyle\int_E e^{-ixt}\;dx$ と
おいたとき,$\displaystyle\int_{\mathbb R} 
\mu(E\cap(x-E))e^{-ixt}\;dx$ を $f(t)$ を使って表わせ.
ただし $x-E=\{x-y\mid y\in E\}$ である.


\bigskip
[6] $f,g,h\in L^3(X)$ のとき,$fgh$ は可積分であることを示せ.

\end{document}