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\begin{document}
\centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(12)解答解説}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip


平均点は38点，最高点は100点(1人)でした．

\bigskip
[1] 普通に計算すると，
$$f*f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
0,&\hbox{$|x|\ge1$のとき},\\
x+1,&\hbox{$-1\le x\le 0$ のとき},\\
-x+1,&\hbox{$0\le x\le 1$ のとき}
\end{array}\right.$$
となります．さらに続けて計算して，
$$f*f*f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
0,&\hbox{$\displaystyle|x|\ge\frac{3}{2}$のとき},\\
\displaystyle
\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}+x\right)^2,
&\hbox{$\displaystyle-\frac{3}{2}\le x\le -\frac{1}{2}$ のとき},\\
\displaystyle\frac{3}{4}-x^2,
&\hbox{$\displaystyle-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}$ のとき},\\
\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}-x\right)^2,
&\hbox{$\displaystyle\frac{1}{2}\le x\le \frac{3}{2}$ のとき}
\end{array}\right.$$
となります．

\bigskip
[2] $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty
\frac{1}{1+(x-t)^2}\frac{1}{1+t^2}\;dt$ となるので留数計算します．
留数計算の詳細は省略しますが，$x$軸に直径が乗り，原点を中心として
上半平面にかかる半円周を積分路として，円の半径を無限大にもって
いきます．被積分関数は極が4つありますが，上記半円の内部にある
$t=i,x+i$ での留数が効いてくるので，
答えは $\displaystyle\frac{2\pi}{x^2+4}$ です．

\bigskip
[3] $f\in L^1({\mathbb R})$, $g\in L^2({\mathbb R})$
で $\displaystyle \lim_{k\to\infty} \|f_k-f\|_1=0$, 
$\displaystyle \lim_{k\to\infty} \|f_k-g\|_2=0$ となるものが存在します．
$\{f_k\}_k$ の部分列を取れば $f$ にほとんどいたるところ各点
収束しており，さらにその部分列を取れば $g$ にほとんどいたるところ
各点収束しています．このことから $f=g$ がわかり，結論が出ます．

\bigskip
[4] $f$ を実部と虚部に分け，さらにそれぞれを $0$ 以上の値を取る部分と
$0$ 以下の値を取る部分に分けて考えればいいので，
$f(x)$ は常に$0$以上の値を取ると仮定してかまいません．

問題の主張を簡単に「$f\in L^1({\mathbb R})\cap L^2({\mathbb R})$
が $g\in C_0^\infty({\mathbb R})$ で同時近似できる」
ということにします．

以下の主張を順に示せば結論が出ます．

(1) $0$以上の値を取る
$f\in L^1({\mathbb R})\cap L^2({\mathbb R})$ は，
$0$以上の値を取り，ある有界区間の外で$0$となる
$g\in L^1({\mathbb R})\cap L^2({\mathbb R})$ で
同時近似できる．

(2) $0$以上の値を取り，ある有界区間の外で$0$となる
$f\in L^1({\mathbb R})\cap L^2({\mathbb R})$ 
は単関数で同時近似できる．

(3) 可測集合 $E\subset{\mathbb R}$ が有界区間に
含まれるとき，$\chi_E(x)$ は
$g\in C_0({\mathbb R})$ で同時近似できる．

(4) $f\in C_0({\mathbb R})$ は
$g\in C_0^\infty({\mathbb R})$ で同時近似できる．

以上の主張の証明は次の通りです．

(1) $f_k(x)=f(x)\chi_{[-k,k]}(x)$ とおけば，Lebesgue の収束定理
により $\displaystyle \lim_{k\to\infty} \|f_k-f\|_1=\lim_{k\to\infty} \|f_k-f\|_2=0$ 
なので結論を得ます．

(2) $f$ の通常の単関数による下からの近似列を $\{f_k\}_k$
とおけば，Lebesgue の収束定理
により $\displaystyle \lim_{k\to\infty} \|f_k-f\|_1=\lim_{k\to\infty} \|f_k-f\|_2=0$ 
なので結論を得ます．

(3) $\chi_E(x)$ の授業でやった $C_0({\mathbb R})$ の元による
$L^1$ ノルムでの近似は，$L^2$ ノルムによる近似にもなっていること
が分かるので結論を得ます．

(4) 授業でやった $f\in C_0({\mathbb R})$ の元を
convolution により $C_0^\infty({\mathbb R})$ の元で近似する方法は
同時近似になっていることが分かるので，結論を得ます．

\end{document}