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\begin{document}
\centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(12)}
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\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

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[1] $f(x)=\chi_{[-1/2,1/2]}(x)$ とおく．$f*f*f$ を求めよ．

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[2] $f(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x^2}$ とおく．
$f*f$ を求めよ．

\bigskip
[3] $f_1,f_2,f_3,\dots\in L^1(X)\cap L^2(X)$ とする．
関数列 $\{f_k\}_k$ が $L^1$ ノルムでも $L^2$ ノルムでも
Cauchy列であるとき，$f\in L^1(X)\cap L^2(X)$ が存在して
$\displaystyle \lim_{k\to\infty}\|f_k-f\|_1=
\lim_{k\to\infty}\|f_k-f\|_2=0$ となることを示せ．

\bigskip
[4] $f\in L^1({\mathbb R})\cap L^2({\mathbb R})$とする．
任意の $\varepsilon >0 $に対し，$g\in C_0^\infty({\mathbb R})$ 
で $\|f-g\|_1<\varepsilon$, $\|f-g\|_2<\varepsilon$ となるものが
存在することを示せ．

\end{document}