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\begin{document}
\centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(11)解答解説}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は順に25, 30, 20, 25点です．
平均点は50点，最高点は100点(2人)でした．

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[1] $h_1(x)=\chi_{[-1,1]}(x)|x|^{-2/3}$,
$h_2(x)=\chi_{[-1,1]}(x)|x|^{-1/3}$ とおきます．($x=0$ での値は
無視できます．) $h_1\in L^1({\mathbb R})$, $h_2\in L^2({\mathbb R})$ に
注意します．有理数全体に番号をつけて $p_1,p_2,\dots$ とします．
$f(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k} h_1(x-p_k)$ 
とおけばこれは $L^1({\mathbb R})$ の中で収束し，
$g(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k} h_2(x-p_k)$ 
とおけばこれは $L^2({\mathbb R})$ の中で収束します．
$f*g(p_k)$ を見ると，$p_k-p_1=p_l$ とおけるので，
$f(p_k-x)$ の無限和の中には $h_1(x-p_1)$ の正定数倍があり，
$g(x)$ の無限和の中には $h_2(x-p_1)$ の正定数倍があります．
$h_1(x-p_1)h_2(x-p_1)$ は可積分ではないので，$f*g(p_k)$ を
定める積分は可積分ではありません．

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[2] (1) $y$ の関数として $f(x-y)$ が $L^p$関数であり，
$g(y)$ が $L^q$関数なので H\"older の不等式より結論が出ます．

(2) H\"older の不等式と，$L^p({\mathbb R})$ における平行移動の
連続性から結論が出ます．

(3) $f_k\in C_0({\mathbb R})$, $g_k\in C_0({\mathbb R})$ 
を $\|f-f_k\|_p\to0$, $\|g-g_k\|_q\to0$ となるようにとると，
H\"older の不等式より
$\|f*g-f_k*g_k\|_\infty\le\|f\|_p \|g-g_k\|_q+ \|f-f_k\|_p \|g_k\|_q$
なので，$\|f*g-f_k*g_k\|_\infty$ を得ます．
$f_k*g_k$ はコンパクト台を持つのでこれから結論が導かれます．

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[3] $\|f\|_\infty\le\sup |f(x)|$ は定義からすぐにわかります．
$a<\sup |f(x)|$とすると，$a<|f(x_0)|$ となる $x_0$ があります．
$|f(x)|$ の連続性より，$x_0$ の近傍でも $a<|f(x)|$ となります．
この近傍は正の測度を持つので，$a<\|f\|_\infty$ となり，
結論が出ます．

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[4] $f=0$ の時は答えはもちろん $0$ です．

そうでないとき，H\"older の不等式より答えは $\|f\|_p$ 以下ですが，
この値を実際に取ることを示します．$c=\|f\|_p^{-p/q}$ とおき，
$|g(x)|=c|f(x)|^{1/(q-1)}$, $f(x)g(x)\ge0$ となるように
可測関数 $g(x)$ が取れます．このとき計算により
$\|g\|_q=1$ がわかり，また
$\displaystyle\int_X fg \;d\mu=c\int_X |f|^p\;d\mu=
c\|f\|_p^p=\|f\|_p$ となるので，以上合わせて答えは
$\|f\|_p$ です．


\end{document}