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\begin{document}
\centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(11)}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

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[1] 次の条件すべてを満たす関数 $f,g$ の例を挙げよ．

(1) $f\in L^1({\mathbb R})$.

(2) $g\in L^2({\mathbb R})$.

(3) $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)\;dy$ が可積分で
ない $x$ が稠密に存在する．


\bigskip
[2] $p,q\in(1,\infty)$, $1/p+1/q=1$ とする．さらに
$f\in L^p({\mathbb R})$，$g\in L^q({\mathbb R})$とする．

(1) $f*g(x)$ がすべての $x$ で定義されることを示せ．

(2) $f*g(x)$ が連続であることを示せ．

(3) $\displaystyle \lim_{|x|\to\infty} f*g(x)=0$ である
ことを示せ．

\bigskip
[3] $f\in C_0({\mathbb R})$ とする．$\|f\|_\infty=\sup |f(x)|$ 
であることを示せ．

\bigskip
[4] $p,q\in(1,\infty)$, $1/p+1/q=1$ とする．
$f\in L^p(X)$ に対し，$\displaystyle\sup_{g\in L^q(X),\|g\|_q\le 1}
\left|\int_X fg \;d\mu\right|$ を求めよ．

\end{document}