\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\pagestyle{empty}
\textwidth 15.3cm
\oddsidemargin 0in
\evensidemargin 0in
\textheight 22.3cm
\topmargin 0in
\headsep 0in
\renewcommand{\topfraction}{0.95}
\renewcommand{\bottomfraction}{0.95}
\renewcommand{\textfraction}{0.05}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}

\begin{document}
\centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(10)解答解説}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip


平均点は61点，最高点は100点(3人)でした．

\bigskip
[1] 自然数 $k,m$ に対し，
$E_{km}=\{x \in X\mid |f_k(x)-f_m(x)| > \|f_k-f_m\|_\infty\}$
とおきます．$E=\displaystyle \bigcup_{k,m=1}^\infty E_{km}$ とおけば
$E$ の測度は $0$ で，$x\notin X$ のときは $\{f_k(x)\}_k$ が
Cauchy 列なので収束します．

\bigskip
[2] まず convolution の定義式で
$x-y$ と $y$ を入れ替えることにより
$f*g=g*f$ に注意します．よって $(f*g)*h=(g*f)*h$ であり，
$(g*f)*h$ が $L^1({\mathbb R})$ の元であることより，$x$ について
ほとんどいたるところ
$\displaystyle \int_{\mathbb R} \int_{\mathbb R} g(x-y-z)f(y)h(z)\;
dy\;dz$ は可積分です．したがってそのような $x$ について
Fubini の定理が使えて $(g*f)*h(x)=(g*h)*f(x)$ となります．
よって，$(f*g)*h=(g*f)*h=(g*h)*f=f*(g*h)$ を得ます．

\bigskip
[3] $\mu(E)<\infty$ ならば，$f\in L^2(E)$ のとき，
Cauchy-Schwarz の不等式より
$$ \int_E |f(x)|\;dx\le
\left(\int_E |f(x)|^2\;dx\right)^{1/2}
\left(\int_E \chi_E(x)^2\;dx\right)^{1/2}<\infty$$
となるので $L^2(E)\subset L^1(E)$ です．

逆に $\mu(E)=\infty$ とすると，$E=\displaystyle
\bigcup_{k=1}^\infty E_k$ (disjoint union),
$1<\mu(E_k)<\infty$ と書けます．
このとき $f(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty
\frac{1}{n\sqrt{\mu(E_k)}}\chi_{E_k}(x)$ とおけば，
$f\in L^2(E)$, $f\notin L^1(E)$ となります．

よって答えは $\mu(E)<\infty$ です．

\bigskip
[4] たとえば $f_k(x)=\chi_{(0,1/n)}(x)$ とおけばできます．

\bigskip
[5] 数列 $x=(x^1,x^2,x^3,\dots)$ に対し，
$|x^m|\le \|x\|_p$ なので，$\|x\|_\infty\le\|x\|_p$ となります．
これより結論を得ます．

\end{document}