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\begin{document}
\centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(1)解答解説}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は[1] 20点, [2] 15点$\times2$, [3] 10点$\times5$です．
平均点は62点，最高点は100点(2人)でした．

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[1] 直方体有限個の disjoint union $K$ に対し，$m(K)$ は $K$ に
含まれる格子点($x,y$座標がともに整数の点)の数となります．
これより，$\Gamma(A)$ も $A$内に含まれる格子点の数となることがわかります．

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[2] (1) $\mu^*(\{x\}\times(n,n+1])=0$ が容易に分かるので，可算和を取って
$\mu^*(\{x\}\times{\mathbb R})=0$ がわかり，さらに
$\mu^*({\mathbb Q}\times{\mathbb R})=0$ がわかります．

(2) $\mu^*([0,1]\times[0,1])=1$ であり，そこから可算個の点を除いて
いるので $\mu^*(A)=1$ です．

(1), (2)ともに Lebesgue 可測集合なのでこの Lebesgue 外測度は Lebesgue
測度の値にもなっています．

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[3]
(1) これは容易に分かります．

(2) $m(A\cup B)$ について，$A,B$ がともに有限集合の場合とそれ以外の場合に
分けてチェックすればわかります．

(3) ${\mathbb N}=\bigcup_{n=1}^\infty \{n\}$ と書いて
$m({\mathbb N})=\infty$ と $\sum_{n=1}^\infty m(\{n\})=\sum_{n=1}^\infty
\frac{1}{n(n+1)}=1$ が異なるので完全加法的ではありません．

(4) $A=\bigcup_{n\in A}\{n\}$ という表示が外測度を与えるので，
$\Gamma(A)=\sum_{n\in A}\frac{1}{n(n+1)}$ となります．

(5) (4) の表示からすべての $\mathbb N$ の部分集合が$\Gamma$-可測であることが
わかります．

\end{document}