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\begin{document}
\centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(10)}
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\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

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[1] 
$f_1, f_2, f_3,\dots$ を $L^\infty(X)$ の関数列とする．
これが $L^\infty$ ノルムについて Cauchy 列であるとき，
$\{f_k(x)\}_k$ はほとんどいたるところ収束することを示せ．

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[2] $f,g,h\in L^1({\mathbb R})$ とする．
$L^1({\mathbb R})$ の元として $(f*g)*h=f*(g*h)$ であることを示せ．


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[3] $E$ を $\mathbb R$ の Lebesgue 可測集合，$\mathcal B$ を
Lebesgue 可測な $E$ の部分集合の全体，$\mu$ を Lebesgue
測度の $\mathcal B$ への制限として，測度空間 $(E, {\mathcal B},\mu)$
を考える．$L^2(E)\subset L^1(E)$ となるための必要十分条件を求めよ．

\bigskip
[4] 次の条件を満たす関数列 $\displaystyle
f_1,f_2,f_3,\dots\in \bigcap_{1\le p\le\infty}
L^p({\mathbb R})$ の例を挙げよ．

(1) $1\le p<\infty$ のとき $\{f_k\}_k$ は $L^p$ ノルムについて
Cauchy 列である．
 
(2) $\{f_k\}_k$ は $L^\infty$ ノルムについて Cauchy 列ではない．

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[5] ある $p\in[1,\infty)$ について $x_1,x_2,x_3,\dots\in \ell^p$,
$\displaystyle\lim_{k\to\infty} \|x_k\|_p=0$ とする．このとき 
$\displaystyle\lim_{k\to\infty} \|x_k\|_\infty=0$ を示せ．


\end{document}