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\begin{document}
\centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(9)解答解説}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は各問25点，
平均点は52点，最高点は100点(1人)でした．

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[1] 問題の式は $\displaystyle\int_{\mathbb R}\int_{\mathbb R}
\chi_A(y-x)\chi_B(y)\;dy\;dx$と書けます．関数は0以上の値を
取っているのでFubiniの定理が使えて，積分順序を
入れ替えれば，$\displaystyle \int_{\
mathbb R}\chi_A(y-x)\;dx=\mu(A)$
となり，残りの積分から $\mu(B)$ が出るので結論を得ます．

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[2] (1) 無限和のように見えますが，実は$x$または$y$を固定すれば
有限和なので簡単に計算できて，前者の積分は0，後者は1となります．

(2) $|f(x,y)|$ を積分すると$1$が無限回足されて無限大となるので，
可積分でありません．

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[3] まず，形式的な変形は
\begin{align*}
\int_{\mathbb R} \left(\int_{\mathbb R} f(x-y)g(y)\;dy\right)e^{-ixt}\;dx
&=\int_{\mathbb R} \int_{\mathbb R} f(x-y)g(y)e^{-i(x-y)t} e^{-iyt}\;dy\;dx\\
&=\int_{\mathbb R} \int_{\mathbb R} f(x-y)g(y)e^{-i(x-y)t} e^{-iyt}\;dx\;dy\\
&=\int_{\mathbb R} f(x-y)e^{-i(x-y)t}\;dx \int_{\mathbb R} g(y) e^{-iyt}\;dy\\
&=\int_{\mathbb R} f(x) e^{-ixt}\;dx
\int_{\mathbb R} g(x) e^{-ixt}\;dx
\end{align*}
です．
このうち最後の等式は単に Lebesgue 積分が平行移動で不変だということ
を使っているだけなので，問題は積分順序を交換している2番目の
等号です．これは Fubini の定理を使っているわけですが，使える理由は，
$|f(x-y)g(y)e^{-i(x-y)t} e^{-iyt}|=|f(x-y)g(y)|$に対し，
$$\int_{\mathbb R} \int_{\mathbb R} |f(x-y)g(y)|\;dx\;dy
=\int_{\mathbb R} |f(x-y)|\;dx \int_{\mathbb R} |g(y)| \;dx
=\int_{\mathbb R} |f(x)|\;dx \int_{\mathbb R} |g(y)| \;dx < \infty$$
であるからです．

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[4] $$\displaystyle\int_0^c \frac{\sin x}{x}\;dx
=\int_0^c \int_0^\infty e^{-xt}\sin x\;dt\;dx$$ であり，$e^{-xt}\sin x$
がこの積分範囲で可積分なので，Fubini の定理が使えます．
積分順序を交換して内側の積分を計算すると，2回部分積分して
$$\int_0^c e^{-xt}\sin x\;dx=\frac{1-e^{-ct}\cos c-te^{-ct}\sin c}{1+t^2}$$
となります．よって求める量は
$$\lim_{c\to\infty}\int_0^\infty
\frac{1-e^{-ct}\cos c-te^{-ct}\sin c}{1+t^2}\;dt$$
となりますが，$c>c_0$ の範囲で動くとき，分子の絶対値は
$1+e^{-c_0t}+te^{-c_0t}$ で抑えられるので Lebesgue の収束定理が
使えて，答えは $\displaystyle\int_0^\infty
\frac{1}{1+t^2}\;dt=\frac{\pi}{2}$となります．

\end{document}