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\begin{document}
\centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(9)}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

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[1] $A, B$ を $\mathbb R$ の Lebesgue 可測部分集合とする．
$$\int_{\mathbb R} \mu((A+x)\cap B)\;dx =
\mu(A)\mu(B)$$ であることを示せ．
ただしここで，$\mu$ は Lebesgue 測度であり
$A+x=\{ y+x \mid y\in A\}$ である．

\bigskip
[2] 各$k=1,2,3,\dots$について，
$[0,1]$上の正値連続関数$g_k(x)$が次の
2条件を満たしているとする．

(a) $\displaystyle x\notin [\frac{1}{k+1},\frac{1}{k}]$ならば，$g_k(x)=0$.

(b) $\displaystyle \int_0^1 g_k(x)\;dx=1$.

この時，$[0,1]\times[0,1]$上の関数$f(x,y)$を，
$$f(x,y)=\displaystyle \sum_{k=1}^\infty(g_k(x)-g_{k+1}(x))g_k(y)$$
と定める．この時，次の問いに答えよ．

(1) $\displaystyle\int_0^1 \left(\int_0 ^1 f(x,y)\;dx\right)dy$と，
$\displaystyle\int_0^1 \left(\int_0 ^1 f(x,y)\;dy\right)dx$を求めよ．

(2) この例ではFubiniの定理の仮定の何が成り立っていないのか，説明せよ．

\bigskip
[3] $f, g\in L^1({\mathbb R})$のとき，実数 $t$ について
$$\int_{\mathbb R} (f*g)(x)e^{-ixt}\;dx=
\int_{\mathbb R} f(x) e^{-ixt}\;dx
\int_{\mathbb R} g(x) e^{-ixt}\;dx$$
であることを示せ．

\bigskip
[4] $x > 0$に対して
$\displaystyle\frac{1}{x}=\int_0^\infty e^{-xt}\;dt$
であることとFubiniの定理を使って
$\displaystyle\lim_{c\to\infty} \int_0^c \frac{\sin x}{x}\;dx$
を求めよ．


\end{document}