\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\pagestyle{empty}
\textwidth 15.3cm
\oddsidemargin 0in
\evensidemargin 0in
\textheight 22.3cm
\topmargin 0in
\headsep 0in
\renewcommand{\topfraction}{0.95}
\renewcommand{\bottomfraction}{0.95}
\renewcommand{\textfraction}{0.05}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}

\begin{document}
\centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(8)解答解説}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip


平均点は57点，最高点は100点(1人)でした．

\bigskip
[1] (1) $0\le \nu(E)\le\infty$, $\nu(\varnothing)=0$ はただちにわかり，
$E_k$ ($k=1,2,3,\dots$)が互いに disjoint なときは，$0$ がどの $E_k$
にも含まれない場合，どれかの $E_k$ に含まれる場合に分けて考えれば，
完全加法性が出ます．

(2) $\nu({\mathbb R}\setminus \{0\})=0$ なので，
${\mathbb R}\setminus\{0\}$ のすべての部分集合が可測となります．
$\{0\}$ は元から可測なので，結局 $\mathbb R$ のすべての部分集合が
可測となり，$E\subset\mathbb R$ に対し，$0\in E$ ならば $\bar\nu(E)=1$,
$0\notin E$ ならば $\bar\nu(E)=0$ となります．

\bigskip
[2] (1) $0\le \nu(E)\le\infty$, $\nu(\varnothing)=0$ はただちにわかり，
完全加法性は単調収束定理から出ます．

(2) $\nu(E)=0$ とすると $\mu(E)=0$ です．($\mu$ は Lebesgue 測度．)
$A\subset E$ とすると $A$ も Lebesgue 可測なので，$\nu$ は完備です．

\bigskip
[3] ${\mathbb R}^n$, ${\mathbb R}^m$, ${\mathbb R}^{n+m}$ の開集合族
をそれぞれ ${\mathcal U}_n$, ${\mathcal U}_m$, ${\mathcal U}_{n+m}$ と
おき，Borel 完全加法族を ${\mathcal B}_n$, ${\mathcal B}_m$, 
${\mathcal B}_{n+m}$ とおきます．

まず $${\mathcal B}=\{B\subset {\mathbb R}^n\mid
B\times {\mathbb R}^m\in{\mathcal B}_{n+m}\}$$ とおきます．
${\mathcal U}_n\subset {\mathcal B}$ であり，
${\mathcal B}$ は完全加法族なので，
${\mathcal B}_n\subset {\mathcal B}$ となります．すなわち，
任意の $B\in{\mathcal B}_n$ に対して $B\times {\mathbb R}^m
\in {\mathcal B}_{n+m}$ です．同様にして，
任意の $B\in{\mathcal B}_m$ に対して ${\mathbb R}^n\times B
\in {\mathcal B}_{n+m}$ です．

次に，$${\mathcal B}'=\{B\subset {\mathbb R}^n\mid
\hbox{すべての}U\in{\mathcal U}_m\hbox{について}
B\times U\in{\mathcal B}_{n+m}\}$$ とおきます．
${\mathcal U}_n\subset {\mathcal B}'$ であり，
また $B^c\times U={\mathbb R}^n\times U\setminus B\times U$
であることより，${\mathcal B}'$ は完全加法族です．
このことより，
${\mathcal B}_n\subset {\mathcal B}'$ です．すなわち，
任意の $B\in{\mathcal B}_n$, 任意の $U\in{\mathcal U}_m$ 
に対して $B\times U
\in {\mathcal B}_{n+m}$ です．同様にして，
任意の $U\in{\mathcal U}_n$, $B\in{\mathcal B}_m$ に対して 
$U \times B \in {\mathcal B}_{n+m}$ です．

次に，$${\mathcal B}''=\{B\subset {\mathbb R}^n\mid
\hbox{すべての}E\in{\mathcal B}_m\hbox{について}
B\times E\in{\mathcal B}_{n+m}\}$$ とおきます．
${\mathcal U}_n\subset {\mathcal B}''$ であり，
また $B^c\times E={\mathbb R}^n\times E\setminus B\times E$
であることより，最初に証明したことが使えて
${\mathcal B}''$ は完全加法族です．このことより，
${\mathcal B}_n\subset {\mathcal B}''$ です．すなわち，
任意の $B\in{\mathcal B}_n$, 任意の $B'\in{\mathcal B}_m$ に対して 
$B \times B' \in {\mathcal B}_{n+m}$ です．
このことから，${\mathcal B}_n$ と ${\mathcal B}_m$ の直積
完全加法族が ${\mathcal B}_{n+m}$ に含まれることがわかります．

逆に，$U\in {\mathcal U}_{n+m}$ とすると，$U=\bigcup_{k=1}^\infty
V_k\times W_k$ ($V_k\subset {\mathbb R}^n, W_k\subset {\mathbb R}^m$ 
はいずれも，中心の座標がすべて有理数で半径も有理数であるような開球)
と書けるので，${\mathcal U}_{n+m}$ は
${\mathcal B}_n$ と ${\mathcal B}_m$ の直積
完全加法族に含まれ，${\mathcal B}_{n+m}$ が
${\mathcal B}_n$ と ${\mathcal B}_m$ の直積
完全加法族に含まれることがわかります．

\bigskip
[4] 主張が正しいとすると，Lebesgue 完全加法族(Lebesgue 可測集合の
全体)と Borel 完全加法族が等しいことになります．しかし [3]で見たように
1次元の Borel 完全加法族2つの直積は2次元の Borel 完全加法族であり，
また授業でやったように
1次元の Lebesgue 完全加法族の直積は2次元の Lebesgue 完全加法族ではない
のでこれはありえません．

\bigskip
[5] $${\mathcal M}=\{E\subset {\mathbb R}\mid
E\hbox{は Lebesgue 可測}, \int_E f(x)\;dx\ge0\}$$
とおけばこれは有限個の区間の disjoint union 全体を含む
単調族です．(単調減少列については $f$ の可積分性より
Lebesgue の収束定理が使えます．) よって $\mathcal M$ は
有限個の区間の disjoint union 全体を含む最小の完全加法族
を含み，したがって Borel完全加法族を含みます．

任意の Lebesgue 可測集合 $E$ に対し，Borel 集合
$F,G$ で $F\subset E\subset G$, $\mu(G\setminus F)=0$ となる
ものがあるので，
$\displaystyle\int _E f(x)\;dx=\int_F f(x)\;dx=0$ と
なります．

任意の正の整数 $k$ について，
$\{x\mid f(x)<-1/k\}$ の Lebesgue 測度が $0$ となるので，
$f(x)\ge0$ a.e. となります．
\end{document}