\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\pagestyle{empty}
\textwidth 15.3cm
\oddsidemargin 0in
\evensidemargin 0in
\textheight 22.3cm
\topmargin 0in
\headsep 0in
\renewcommand{\topfraction}{0.95}
\renewcommand{\bottomfraction}{0.95}
\renewcommand{\textfraction}{0.05}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}

\begin{document}
\centerline{2016年解析学特別演習Iテスト(7)}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室 (電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答用紙の一番上に学生証番号と氏名を書いてください．

このテストは，ノート持ち込み可で行います．
電子機器の使用は不可です．

途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

\bigskip
[1] $f(t)$ を $(0,\infty)$ 上の有界 Lebesgue 可測関数とする．
複素数 $z$ の虚部を正としたとき，この範囲で
$F(z)=\displaystyle\int_0^\infty t^2 f(t) e^{itz}\;dt$ は
$z$ の正則関数を定めることを示せ．

\bigskip
[2] 実数 $t$ に対し，
$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{ixt}}{1+x^2+x^4}\;dx$
は $t$ の $C^2$級関数であることを示せ．

\bigskip
[3] $f(x)$ を $\mathbb R$ 上のコンパクト台の連続関数，
$g(x)$ を $\mathbb R $ 上のコンパクト台の $C^\infty$級関数とする．
$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)\;dy$ は
コンパクト台の $C^\infty$級関数であることを示せ．

\bigskip
[4] $f(t)$ を $[0,1]$ 上の実数値有界 Lebesgue 可測関数とする．
実数 $x$ に対し $g(x)=\displaystyle\log\left(\int_0^1 e^{xf(t)}\;dt\right)$
とおく．

(1) $g(x)$ は無限回微分可能であることを示せ．

(2) 常に $g''(x)\ge0$ であることを示せ．

\end{document}